Entropía, Origen del Concepto.

Entropia, Origen Del Concepto Entropy, Origin Of The Concept

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La Entropía en la Macro y Microeconomía: dos instancias

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En otra parte de nuestro blog nos hemos referido al origen del concepto de Entropia. En esta oportunidad deseamos relacionar ese concepto de la Termodinámica, nacido del estudio de los motores térmicos,  a la Economía,  basándonos en el hecho que ambas disciplinas tienen un común denominador: la Energía. Entendemos la Energía como la capacidad de realizar Trabajo. En las ciencias se estudian sus cambios pues ella se manifiesta en distintas formas tales como la calórica, la eléctrica, la gravitacional, la quimica y la mecánica mientras que en la Economía está presente la energía de la sociedad cristalizada en la Moneda. En este sentido, el dinero puede interpretarse como la energía que utiliza la sociedad para los procesos de generación y distribución de recursos. Desde el punto de vista microeconómico, una empresa,  con sus procesos administrativos, puede  compararse con un dispositivo mecánico motorizado, recordando que los motores son transformadores de un tipo de energía en otra [1]  y los procesos administrativos transforman un input en un output con, es de esperar, valor agregado.

 

¿Qué sucedería si se reparte un millón de soles entre un millón de personas? Un principio de la Física nos puede dar una indicación por la razón de que mide la pérdida de energía disponible para hacer trabajo de los sistemas. Este prinicpio se llama Entropía.

Dejado a su libre albedrío, un sistema se desordena espontáneamente y reduce la calidad de su energía.

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“La Entropía es una medida de la pérdida de la capacidad para hacer trabajo por parte de la Energía.” 

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En el caso del millón de soles, estos se pueden dar por perdidos. Al estar cada moneda en un bolsillo distinto, estarán tan esparcidas como lo estarán las personas mismas que las llevan. ¡Que diferencia al trabajo que puede hacer ese mismo millón de soles juntos!

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“Al distribuirse sin ton ni son, el dinero se ha entropizado, y ha perdido su capacidad de trabajar para generar valor.”

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Desde el punto de vista Macroeconómico, el concepto de Entropía se aplica a la perfección a un invento de la sociedad que reduce el desorden del dinero circulante: el Banco. Sus depósitos provienen de millones de indivíduos distribuídos aleatoriamente, pero que al colocar sus dineros en los bancos, estos últimos retornan los soles al ciclo económico de manera  ordenada y productiva.

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“Las Insituciones Financieras son reductoras de la entropía del dinero circulante en el sistema monetario.”

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Desde el punto de vista Microeconómico, aspecto que analizaremos más detenidamente, el concepto se aplica muy bien a la Empresa por la razón de está compuesta por procesos [2] que deseamos sean eficentes (con poca entropía).

Ahora bien, una empresa que cumple con estos requisitos tiene las siguientes características: [3]

• estructura sencilla
  
• procesos bien diseñados (llamados robustos)
  
• reducido personal administrativo (“overhead”), típicamente 50% menos (a partir de 152 vs 80 personas, en la última línea del cuadro, abajo) que una compañía burocrática e ineficiente.

Además:

• En las empresas robustas, el 40% del staff administrativo es personal dedicado a mejorar los procesos y a…
  
• pensar, (dedicada al análisis, diseño e implementación de los procesos de valor).
  
• En la burocrática sólo se dedica el 12.5% a la misma tarea de pensar.
  
• Contrariamente a la anterior, en la robusta sólo el 28.8% del tiempo de su personal va a resolver problemas cuando la…
  
• burocrática dedica el 63.8%, o sea 2.2 veces más, en términos relativos.

Este último índice –63.8 %- puede ser típico de las llamadas “compañías bombero” que se desgastan apagando “incendios” en cualquier lugar y momento en vez de invertir sus recursos en manejar sus circunstancias: reacción contra pro-acción, reducción de la incertidumbre versus el caos. 

  Durante el proceso de planificación, cuando el administrador establece los objetivos de la empresa, está fijando un punto de llegada que equivale a un punto de congregación de las energías de la empresa. Así mismo, durante el proceso del análisis FODA, estudia sus procesos y señala  cursos de acción lograr más eficiencia.

No nos extrañe, por lo tanto, que un plan de mejora de la calidad trae como consecuencia una disminución en los costos por la razón de que la calidad también significa orden, estructura, eficiencia, poca redundancia, puntualidad, precio y valor adecuados (todo lo opuesto al desorden y el caos que implica la alta entropía).

Por lo tanto, los beneficios mayores se consiguen reduciendo la entropía del sistema extrayéndole a cada proceso el máximo de trabajo - lo mismo que hace un motor bien diseñado- en virtud de que se reduce la aleatoriedad, la incertidumbre y la improvisación (con orden, estructura, eficiencia y nula redundancia). Está demás decir que todo lo anterior demanda energía, trabajo sostenido y propósito empresarial.

Por último, reflexionemos en lo que nos dice la Naturaleza. Así como admiramos a una empresa o a un país que está adelante de su competencia tanto por la aceptación de sus productos como por la eficiencia de sus procesos, ELLA nos da una muestra del valor del orden en el diseño cuando nos ofrece un Diamante, un trozo de carbón cristalizado de tal manera que es el material de mayor dureza y su estructura es perfecta;  pero también, y por qué no decirlo, el es material natural cuya entropía es cero.

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[1] Por ejemplo, la energía quimica de la gasolina se transforma en la energía mecánica que mueve al automóvil)

[2] Administrativos, productivos, de innovación y los de venta (transformación de inventarios en soles)

[3] Este y los demás datos sobre empresas Robustas y Burocráticas los tomamos de “The Fallacy of the Overhead Quick Fix”; Harvard Business Review Julio - Agosto 1991 por Mark F. Blaxil y Thomas M. Hout

Llanta cuadrada – Problema tomado a partir de Stan Wagon’s squared bicycle. Solución sin la utilización de ecuaciones diferenciales.

por René Gastelumendi Dargent

El Problema: ¿Qué forma geométrica debe de tener una pista para que permita a una llanta cuadrada rodar suavemente sobre ella?

Un Tema previo: Proporcionalidad de r con respecto a durante la rotación de la “rueda”.

Suponiendo incrementos de una fracción de grado, , entonces, para cualquier
j ≥ 1, la nueva longitud r, del radio, estará expresada por: (1).

Ahora bien, si deseamos representar incrementos más pequeños y más frecuentes, escribimos (1) de la siguiente manera: (2),

en donde n = jm, m > 1.

Definamos, , por lo que, de tal forma que (2) queda como
en donde reconocemos que la expresión, entre corchetes, es la definición de e (cuando) y, por lo tanto, (3).

Desarrollo de la expresión para la posición del locus del radio con respecto a y.(Movimiento vertical)

Establecida la proporcionalidad, observemos en la figura que el alargamiento hacia abajo del radio, es en los valores negativos de y, razón por la cual a (3) la escribimos como:

[1] (4).

Desarrollo de la expresión para la posición del locus del radio con respecto a x.
(Movimiento horizontal).

La distancia que recorre la rueda cuadrada en dirección horizontal depende de la circunferencia del círculo que a cada instante va dibujando el extremo de r, por lo que decimos que, en donde la expresión de la derecha resulta de reemplazar con (3).

Al efectuar obtenemos que finalmente se reduce a:

(5).

Desarrollo de la expresión para el locus del radio.

Recapitulando, el movimiento está dado por la combinación de dos factores; el primero, la longitud del radio en cualquier momento y, el segundo, la distancia horizontal recorrida, , y, por lo tanto, el locus se puede describir:
(6).

Tomando en cuenta que el radio inicial es igual a la mitad del lado del cuadrado, r_o = l / 2, reemplazamos este valor en (6) para finalmente obtener:

(7)

Para transformar (7) en cosh(x), observamos en la figura de arriba que:

(a) R es el radio del círculo C que circunscribe al cuadrado de lado l,
(b) El radio, R, tiene valor, ,y que
(c) .
Despejando θ en (c) , obtenemos .

Por lo tanto (7) queda como

(8)

que es lo que queríamos encontrar.

Ver también: http://radio.weblogs.com/0105910/2004/04/05.html

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[1] A partir de

Deduction of the Expression for Curvature using elementary calculus

Dear sirs

In Calculus textbooks, the concept of curvature is usually presented in the chapter of Polar Coordinates, and the exposition is done, of course, in that context, i.e., that of polar coordinates, using angles. Afterwards usually there is a “translation” to Cartesian coordinates that, I feel, is not very natural. Or, as in the example below, from http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html one finds a description using parametric equations.

A simpler, more direct and intuitive approach for begining students may be obtained considering the curvature explicitly as the rate of change of the tangent with respect of a portion of arc. In this sense we could formally say:

“Consider curvature as the relation between the rate of change of the tangent with respect a portion of a curve. Then we relate the tangent of f(x) with an infinitesimal portion of f(x) and formor

As we seek the variation of y´ with respect to s´ we obtain the derivative of C(x), thus:

or

taking the first derivative, we obtain:

or, after rearranging,

which is that which we were searching.

Deducción de la Ecuación de Euler-Lagrange con técnicas del Cálculo Elemental, basado en “Deriving Lagrange’s Equation Using Elementary Calculus” por Josef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja.

 

René Gastelumendi Dargent

Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más importantes de la Física.

Lagrange y Euler fueron dos matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia, que utilizando sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las fórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación variacional[1]

El ejemplo clásico es el de la Braquistócrona[2] o la curva de descenso más rápido, problema originalmente expuesto al público por Johannes Bernoulli en 1686 y que se enuncia de la siguiente manera: dentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizará una cuenta, para que, partiendo del punto a llegue al punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto a), en el menor tiempo (Fig. 1).

“Arte diabólico es…” puede decir uno parafraseando a Quevedo, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres endiablados matemáticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando

en donde g es la aceleración de la gravedad.

Sin embargo esta solución no era general por lo que el establecimiento de una teoría que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella. Su método se basó en la utilización de la ecuación que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en estas páginas.

El primero utilizó un enfoque analítico[3] y su procedimiento desborda al Cálculo tradicional.[4] Para su hallazgo -¡realizado a los 19 años de edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción[5] y en su invención, el Cálculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo, empleó una visualización geométrica (ver su propio diagrama en la figura 2) y utilizó el análisis infinitesimal.

El carácter explícito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didáctica.

Brevemente, su programa consiste en:

1. Dividir a la curva a-z en intervalos finitos,,
   (Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para minimizar su resistencia al agua.
2. Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.
3. Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce una variación en la ordenada (de N-n a N-v).

El ejemplo de la Braquistócrona nos ayudará a entender lo que significa una “variación”. Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la distancia en el menor tiempo. Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que puede “decidirse” por otros. A las rutas alternas que se diferencian infinitesimalmente de la que por hipótesis es la correcta, se les llama variaciones. Euler tomó una y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuación, compara los trayectos para finalmente descubrir su fórmula.[6]

Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Cálculo de Variaciones[7]:

• Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a por lo que se puede tomar como nula.
• Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o mínima), entonces cualquier segmento tendrá las mismas características, es decir, será extremo también.

Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle.

Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x) en un punto cercano a , y utilizamos la aproximación cuadrática,

Supongamos, además, que está situada en un extremo. Entonces, y por la razón de que es cero en ese punto, la expresión anterior puede escribirse así,

,

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La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es el estudio entre un mínimo y su entorno, pero en este caso el mínimo no es de un punto en la curva; es más bien una función integral que describe un trayecto.
Para estudiar dicha diferencia infinitesimal:

• Se asume una ruta mínima "correcta" que existe dentro de una familia de rutas.
• Se compara la "correcta" con otra apenas alejada de ella.
• Por ser la "correcta" un trayecto mínimo, cualquier diferencia con respecto a ella, es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y, por lo tanto, despreciable.

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donde vemos claramente que la diferencia entre

es , y depende de un infinitésimo al cuadrado, y por lo tanto es nula.

Ahora bien, teniendo este importantísimo punto clarificado, nos referiremos al gráfico de la figura 2, en particular a la variación v, que Euler imprime a la curva a-z, que es de segundo orden y por lo tanto su diferencia con el segmento m-o, es, en la práctica, nula. En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales”[8]; con mayor razón si la diferencia es un infinitésimo al cuadrado[9].

Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar la función mínima dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la función f(x) (un tema del Cálculo) no es lo mismo a buscar aquella función y = f(x) que haga que la integral sea un extremo (un tema del Cálculo de Variaciones).

En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión depende de y, y’, y en muchos casos, de x también, por que los problemas variacionales se generalizan con una función F de tres variables,

F = F ( y, y’, x)

y la integral definida:

que se busca minimizar.

Retomando los pasos de Euler,

• Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) en intervalos finitosy escogemos dos puntos cualesquiera, k, k+1. Por que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva a-z, siempre estaremos en una segmento extremo.
• Segundo, reemplazamos la integral a ser minimizada por una suma:

.

• Tercero, evaluamos la suma en k y k+1 justo donde está la variación v, para formar los elementos L_k y L_k+1 siendo,

y,

.

Estas son las funciones cuya estructura trataremos de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada ‘y’ en una cantidad infinitesimal de segundo orden. Para esto, derivamos L_k con respecto a y_k,

=

Arreglando términos,

o, lo que es lo mismo,

por la razón de que

y

Operando de la misma manera con L_k+1 y teniendo en cuenta que la pendiente del segmento v-o es negativa, obtenemos

.

Como buscamos el comportamiento de todo el segmento m-o, sumamos con y, para encontrar la diferencia mínima, igualamos a cero:

.

Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta que ,

obtenemos

.

Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos[10], finalmente escribimos la última expresión como

,

que no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange, deducida con conceptos del Cálculo elemental.

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[1] A diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula.

[2] De las raíces griegas “brachistos”, más corto y “cronos”, tiempo.

[3] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”.

[4] Es el que usualmente utilizan los autores de libros de Mecánica.

[5] Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv² -el doble de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción.

[6] Ver Cornelius Lanczos - “The Variational Principles of Mechanics”, para una breve exposición de la deducción de Euler.

[7] Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”.

[8] Citado en la p 241 de “The Mathematical Experience” de Hersh y Davis, primera edición.

[9] En efecto, el moderno Análisis Infinitesimal, el cual se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado “nilpotente” y se define como idéntico a cero.

[10] El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o