tag:blogger.com,1999:blog-368207442024-03-19T05:35:01.733-07:00De Todo, como en BoticaRené F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.comBlogger25125tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-85493384613472555372011-04-16T13:36:00.001-07:002011-04-16T13:37:30.247-07:00Deducción de la Ecuación de la Espiral Exponencial utilizando un Análisis Mecánico<div style="width:425px" id="__ss_7651052"> <strong style="display:block;margin:12px 0 4px"><a href="http://www.slideshare.net/apotecarius/deduccin-de-la-ecuacin-de-la-espiral-exponencial" title="Deducción de la ecuación de la espiral exponencial">Deducción de la ecuación de la espiral exponencial</a></strong> <iframe src="http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/7651052" width="425" height="355" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no"></iframe> <div style="padding:5px 0 12px"> View more presentations from <a href="http://www.slideshare.net/apotecarius">Rene Gastelumendi</a> </div> </div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-24509043790262764092011-02-17T08:30:00.000-08:002011-02-17T08:31:52.055-08:00Africa, La cuna de la Humanidad<iframe title="YouTube video player" width="480" height="390" src="http://www.youtube.com/embed/30PCl9y9060" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-27037942823342346332011-02-16T06:29:00.000-08:002011-02-16T06:30:55.182-08:00La Sorprendente Brquistócrona<div style="width:425px" id="__ss_6923141"><strong style="display:block;margin:12px 0 4px"><a href="http://www.slideshare.net/apotecarius/la-braquistcrona" title="La sorprendente Braquistócrona">La sorprendente Braquistócrona</a></strong><object id="__sse6923141" width="425" height="355"><param name="movie" value="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=labraquistcrona-110214131435-phpapp01&stripped_title=la-braquistcrona&userName=apotecarius" /><param name="allowFullScreen" value="true"/><param name="allowScriptAccess" value="always"/><embed name="__sse6923141" src="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=labraquistcrona-110214131435-phpapp01&stripped_title=la-braquistcrona&userName=apotecarius" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="425" height="355"></embed></object><div style="padding:5px 0 12px">View more presentations from <a href="http://www.slideshare.net/apotecarius">Rene Gastelumendi</a>.</div></div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-48786467091736602632011-02-16T06:19:00.001-08:002011-02-16T06:24:38.833-08:00Deducción de la Aceleración Centrípeta con consideraciones Dinámicas<div style="width:425px" id="__ss_6894329"><strong style="display:block;margin:12px 0 4px"><a href="http://www.slideshare.net/apotecarius/aceleracin-centrpeta-6894329" title="Aceleracion centripeta">Aceleracion centripeta</a></strong><object id="__sse6894329" width="425" height="355"><param name="movie" value="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=aceleracincentrpeta-110211111957-phpapp01&stripped_title=aceleracin-centrpeta-6894329&userName=apotecarius" /><param name="allowFullScreen" value="true"/><param name="allowScriptAccess" value="always"/><embed name="__sse6894329" src="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=aceleracincentrpeta-110211111957-phpapp01&stripped_title=aceleracin-centrpeta-6894329&userName=apotecarius" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="425" height="355"></embed></object><div style="padding:5px 0 12px">View more presentations from <a href="http://www.slideshare.net/apotecarius">Rene Gastelumendi</a>.</div></div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-50359433786557993962011-02-16T06:15:00.000-08:002011-02-16T06:17:19.138-08:00<div style="width:425px" id="__ss_6306021"><strong style="display:block;margin:12px 0 4px"><a href="http://www.slideshare.net/apotecarius/ecuaciones-paramtricas-de-cosh-de-la-rueda-cuadrada" title="Ecuaciones Paramétricas como Solución al problema de la Rueda Cuadrada ">Ecuaciones Paramétricas como Solución al problema de la Rueda Cuadrada </a></strong><object id="__sse6306021" width="425" height="355"><param name="movie" value="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=ecuacionesparamtricasdecoshdelaruedacuadrada-101222141556-phpapp02&stripped_title=ecuaciones-paramtricas-de-cosh-de-la-rueda-cuadrada&userName=apotecarius" /><param name="allowFullScreen" value="true"/><param name="allowScriptAccess" value="always"/><embed name="__sse6306021" src="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=ecuacionesparamtricasdecoshdelaruedacuadrada-101222141556-phpapp02&stripped_title=ecuaciones-paramtricas-de-cosh-de-la-rueda-cuadrada&userName=apotecarius" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="425" height="355"></embed></object><div style="padding:5px 0 12px">View more presentations from <a href="http://www.slideshare.net/apotecarius">Rene Gastelumendi</a>.</div></div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-71065185703732086972010-08-29T11:42:00.000-07:002010-08-29T16:51:18.860-07:00Edificios de Chicago<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHfxT17E48k8GffJwqEQ26NdsBXxCrWmK7mRLRZyGCysnGnA0Cha81P_EgjDFGg6NufTkGfkMcxiTZAzDcvx5Qvw0-7J3iYwRxlk4CY22tDDMenGNZ1O_wApJnK7rBpjhggulI/s1600/IMG_0139.JPG"><img style="MARGIN: 0px 10px 10px 0px; FLOAT: left; CLEAR: both" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHfxT17E48k8GffJwqEQ26NdsBXxCrWmK7mRLRZyGCysnGnA0Cha81P_EgjDFGg6NufTkGfkMcxiTZAzDcvx5Qvw0-7J3iYwRxlk4CY22tDDMenGNZ1O_wApJnK7rBpjhggulI/s320/IMG_0139.JPG" /></a> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJsuzHmVe3zMxbEbe5wp2d-BnLgOaMD99YHPnSyeR8D4MsGJZlCo5UjhpMj8uFBs9GHy-CcfMbCMAgYAgvFCj8R-JNPQNYgXQqIoDFo7FB62VBhebS2lk-uRyoKrSwX2dfUxYY/s1600/IMG_0134.JPG"><img style="MARGIN: 0px 10px 10px 0px; FLOAT: left; CLEAR: both" border="0" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJsuzHmVe3zMxbEbe5wp2d-BnLgOaMD99YHPnSyeR8D4MsGJZlCo5UjhpMj8uFBs9GHy-CcfMbCMAgYAgvFCj8R-JNPQNYgXQqIoDFo7FB62VBhebS2lk-uRyoKrSwX2dfUxYY/s320/IMG_0134.JPG" /></a><div style="clear:both; text-align:LEFT"><a href="http://picasa.google.com/blogger/" target="ext"><img src="http://photos1.blogger.com/pbp.gif" alt="Posted by Picasa" style="border: 0px none ; padding: 0px; background: transparent none repeat scroll 0% 50%; -moz-background-clip: initial; -moz-background-origin: initial; -moz-background-inline-policy: initial;" align="middle" border="0" /></a>Desde el 2007 he viajado a esta ciudad cuatro veces para visitar a mi hija Adriana y, como a mucha gente, su arquitectura también me asombró. Las fotos que acá figuran son algunas de las están en <a href="http://picasaweb.google.com/rene.gastelumendi/EdificiosDeChicago#">http://picasaweb.google.com/rene.gastelumendi/EdificiosDeChicago#</a></div><div style="clear:both; text-align:LEFT">Me dará mucho gusto que las veas.</div><div style="clear:both; text-align:LEFT">René</div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-46242939722790911062010-05-26T08:27:00.001-07:002010-05-26T09:04:21.391-07:00El Todo es el Contexto de la Parte<p>Decir que el todo contiene a la parte suena a una verdad evidente, pero decir que el todo es el <em><strong>contexto </strong></em>de la parte o de las partes inmediatamente nos remite a conexiones, interrelaciones, sinergias, interpretaciones y puntos de vista según de donde se observe la parte.</p> <p>Así como nuestro cerebro sólo contendría “bulla” sin el input de los sentidos, el hombre no sería humano sin el entorno que le brinda la sociedad. Igualmente, los procesos que no tienen a quien servir se extinguen.</p> <p>Preguntas:</p> <p>¿Son todas las partes el contexto de si mismas? Y si es así, ¿que significaría eso?  Dentro de las innumerables combinaciones y permutaciones que en potencia existen entre ellas, serán todas realizables, posibles? Este pensamiento me remite al Teorema de Gödel que dice que dentro de una estructura lógica de postulados, pueden existir enunciados que no son demostrables con los postulados antedichos,  -¡que bárbaro!  En este contexto, ¿podrá, por lo tanto, el cerebro algún día entender su creación, la mente? No lo creo, lo lamento. ¿Tendría que existir un meta-cerebro para que la entienda?</p> <p>¿Y la Vida? ¿Como sería el universo sin la existencia de la Vida? ¿Habrá algo más complejo que ella? ¿Como se podría llamar? ¿Cómo se la podría entender?</p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-83412606503382979922010-01-16T13:20:00.001-08:002010-02-26T08:51:35.889-08:00Pensamientos de un Emprendedor “Madrugado”<p>Pues si, analicé las condiciones del contexto de la empresa que quise poner: la plaza, el crecimiento económico, las políticas gubernamentales, requisitos de la municipalidad, y demás reglamentos y temas. Luego pasé al establecimiento de objetivos y al estudio de mercado para más o menos ver si mi idea podía pegar y también determinar si tenía competencia. De allí, pasé a planificar la obtención de recursos y el lanzamiento de mi producto. Ya había plantado un árbol y tengo hijos. Este producto sería el “libro” que me faltaba escribir. </p> <p>Me madrugaron. </p> <p>Cuando llegué al mercado, “otro” ya había salido con un producto ¡idéntico al mio! </p> <p>¿Por qué me pasó esto? La razón fue una mala decisión: permití ser asesorado en administración. En los párrafos que siguen explicaré por qué he dicho lo anterior. <br />Como sabía que el 80% de las Pymes fracasa antes de los cinco años y el 90% no llega a los diez (Leer a Claudio L. Soriano en <a href="http://winred.com/emprender">http://winred.com/emprender</a>), fui a un taller de dos meses para Pymes dictado por una ONG e hice lo que me dijeron para evitar ser un DOA (Dead On Arrival) creyendo que ese era el quid del asunto. Definitivamente no fui al lugar adecuado y tampoco entendía el fenómeno del cual era partícipe. </p> <p>Me pregunto ahora, ¿existe el lugar para aprender a ser un verdadero Emprendedor (“verdadero” en contraposición al que se hace emprendedor por una necesidad económica)? Luego que he meditado sobre lo que significa serlo, creo que no hay. Al menos, no para el que quiere sacar un producto verdaderamente nuevo. He escuchado que si tienes una idea y no la pones en el mercado antes de 6 meses, otro lo habrá hecho por tí. Vean si no: <a href="http://myidealab.tumblr.com/post/146878592">http://myidealab.tumblr.com/post/146878592</a></p> <p>Creo que todo esto configura una paradoja. Fíjense. Según el libro “Administración” de Stoner, Gilbert y Freeman, Sexta edición, página 179, las características de la personalidad de un Emprendedor son (las enlisto y parafraseo brevemente): </p> <p>1. Necesidad de Logro: “necesidad de resolver problemas” </p> <p>2. Locus de Control interno: “sentirse artífice de su propio destino; ‘yo puedo’” </p> <p>3. Tolerancia al riesgo: “¿Qué va a pasar? ¡vamos adelante!” </p> <p>4. Tolerancia a la ambigüedad: “con estos datos(¿?) tengo suficiente. ¡Avante!” </p> <p>5. Comportamiento tipo A: “se me hace corto el tiempo y tengo mucho que hacer” </p> <p>Es así que aquel que posee el verdadero Espíritu Emprendedor, va a salir pronto al mercado (menos riesgo de que lo copien), va a golpear dos veces, va a conseguir recursos de donde sea –hasta poniendo en riesgo una propiedad por medio de una hipoteca- no va a escuchar consejos y no va a cejar hasta ver su idea puesta en plaza. </p> <p>Pero, también se que el 80% de las Pymes fracasa antes de los cinco años y el 90% no llega a los diez. </p> <p>Y por supuesto que se conocen las razones de la enorme tasa de fracaso de las Pymes, derrotas que se atribuyen entre otros factores a: (ver más en <a href="http://html.rincondelvago.com/fracaso-de-la-pequena-empresa.html">http://html.rincondelvago.com/fracaso-de-la-pequena-empresa.html</a> ) </p> <p>· No aplicación -por parte de la gerencia- de las cosas básicas relativas a la planificación, presupuestos, control, etc. </p> <p>· Capital inadecuado. </p> <p>· Exceso de deudas. </p> <p>· Mala selección del lugar en que está situada la empresa. </p> <p>· La competencia. </p> <p>· Errores de organización. </p> <p>· Falta de experiencia por parte del dueño. </p> <p>· Falta de libros adecuados de contabilidad. </p> <p>· Mala administración del inventario y las cuentas por cobrar. </p> <p>Pero, entonces ¿de qué estamos hablando? ¿ De qué se trata todo esto? ¿Se puede conciliar el Emprendedorismo con la Administración? ¿Se puede hacer desaparecer la paradoja? </p> <p>La verdadera cuestión no es una disyuntiva si no es más bien una sola cosa independiente que se llama <em><b>Creación de y puesta en plaza de Nuevos Productos</b></em>, todo un fenómeno de Concepción en sí mismo. La Biología nos enseña que son millones de gametos masculinos los que corren para llegar a un gameto femenino y sólo uno lo logra para posteriormente crear un ser nuevo y sin par. ¿Y no sucede lo mismo con las empresas nacientes, sobre todo si comparamos su bajísima tasa de triunfo con lo que sucede en la descripción biológica que acabamos de hacer? ¿Será que La Concepción tiene características mucho más Universales de las que normalmente le atribuimos? </p> <p>¿Qué hacer? La verdad que se puede hacer muy poco más allá de lo que se puede extraer de algunos consejos generales como:</p> <ul> <li>Tener en cuenta que vender es mucho más difícil que producir </li> <li>En caso de necesitar un socio, que este sea un individuo con características de personalidad y habilidades complementarias, pero que no ralenticen el proceso de salir al mercado. </li> <li>Más vale que la asociación sea por lo menos de tres personas por si se da la necesidad de dirimir en una situación de estancamiento. </li> </ul> <p>Hay, por lo tanto, que tener en cuenta que en realidad estamos hablando de un fenómeno necesario para el avance de la Sociedad en donde, permítanme la comparación, muchos “gametos” morirán en el empeño de poner su idea en funcionamiento y en su sobreviviencia, y, por otro lado, tener en cuenta también que a estos “<b><i>Factores de la Innovación</i></b>” no se les debe transformar en “Factores de la Producción”, homologándolos con los Administradores, que, por lo general, son harina de otro costal. </p> <p>La transformación del emprendedor de Factor de Innovación a Factor de Producción va a caer por su propio peso cuando su producto (o servicio) empieza a ser aceptado en el mercado y vislumbre el éxito, por que allí si serán vitales las habilidades administrativas y entonces la capacitación será un imperativo o, si no lo hace, deberá contratar a un gerente que imprima a la nueva empresa un crecimiento sostenido.</p> <p>Queda claro que el fracaso de las Pymes se da por la a ausencia de las funciones gerenciales bien administradas: Planificar, Organizar, Dirigir y Controlar pero nos preguntamos si durante el frenesí de la creación, dada su manera de ser, ¿esto le importa a un Emprendedor? Creo que no. ¿Le debería importar a la Sociedad el cambiarlos? Mejor que no sea así pues perderíamos tanto la soga como la cabra.</p> <p>Salvo mejor parecer. </p> <p>René Gastelumendi Dargent, 16 de Enero del 2010</p>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-30970207220118756152010-01-16T08:07:00.001-08:002010-01-16T08:07:21.909-08:00El Desarrollo de la atención al Público en los Bancos<p>La diferencia básica que el cliente siente al entrar a un gran almacén con ingresar a un banco es la espera que tiene que hacer para que lo atiendan. En el primero, va pasando por entre las góndolas escogiendo los productos que tiene en su lista de compras; en el segundo, debe de esperar su turno en una cola. Para el público, un banco es, por excelencia, la muestra clásica de prestación de un servicio en donde él mismo participa, junto con el empleado que lo atiende, en la elaboración del producto bancario que la institución le ofrece.</p> <p>Hacer una operación bancaria hasta entrados los años ochenta significaba:</p> <p>· Recoger de un mostrador las boletas de transacción de acuerdo al tipo de gestión que debía hacer. Por ejemplo, boleta de depósito, de retiro o saldos. Ellas eran a la vez la orden para que el empleado de ventanilla realizara la operación y el comprobante de la misma.</p> <p>· Llenar las boletas con la finalidad de proporcionar los datos para la transacción. Mientras el cliente lo hacía, la cola se iba alargando y la paciencia acortando.</p> <p>· Ir a hacer la cola. </p> <p>· Si la operación era de ahorros –retiro o depósito- , con la boleta en mano presentaba su libreta de ahorros sobre la cual el cajero de la ventanilla tenía que escribir el nuevo saldo y firmar en la boleta la constancia de recibido/depositado.</p> <p>· Con la boleta, cobrar un cheque.</p> <p>· Con la boleta, entregar dinero para depositar en la cuenta.</p> <p>Durante decenas de años, la atención de ventanilla no sufrió variación hasta la implementación de la computadora con Terminal en ventanilla en los años 70. Esto significó tanto la centralización y unificación de los archivos como el proceso distribuido de transacciones, de tal manera que se obviaba la forzosa consulta manual de saldos en los listados de cada agencia y además se proporcionaba al cliente la ventaja de hacer sus operaciones en cualquier oficina de la red de un banco en particular. “Deposite ahora en Tumbes y cobre al instante en Tacna” era el tema de una campaña al comienzo de los años 80, en donde se promovía la facilidad para hacer operaciones prácticamente simultáneas en toda la República. Pero si bien es cierto que significaba un servicio sin parangón, el problema de la atención al cliente, cara a cara con el empleado de ventanilla, no había cambiado sustancialmente. Los Gerentes de Operaciones estaban continuamente bombardeados por quejas del público por lentitud del proceso y muchas veces también por las maneras del empleado de caja.</p> <p>Las estrategias que a mediados de los 80 siguieron los bancos en el Perú para tratar el tema del trance de los clientes en las colas y reducción del tiempo de atención en ventanillas fueron varias. Estaban aquellas que podríamos llamar de “fuerza bruta” que consistían en mejorar la velocidad de transmisión datos entre el Terminal bancario de la agencia y la Computadora Central o, la de adquirir supercomputadoras cada vez más rápidas. En cambio, aquellas que fueron más sofisticadas consistieron en segmentar a los clientes dentro de la agencia de acuerdo al tipo de transacción que realizaría. Es así que había una cola para pagar cheques del mismo banco, otra para cheques de distintos bancos (a falta de conexión interbancaria) y aún más, filas para depósitos de acuerdo al monto o para sólo operaciones de ahorros.</p> <p>Con estos dispositivos se buscaba que el tiempo del cliente dentro de la agencia fuese menor y más cómodo. Un aspecto cultural –aquel de la desconfianza - no permitió ver una solución por demás práctica: pagar los cheques de menor cuantía con su sola presentación en ventanilla y sin consultar saldos. Este procedimiento, que era utilizado en Europa y los Estados Unidos de NA, aceleraba el avance de la fila al reducirse drásticamente el tiempo de transacción. En el Perú, al menos un banco tomó seriamente esta alternativa propuesta por un consultor extranjero -recordar el aspecto cultural que no nos permitía visualizarla- y se hicieron los estudios correspondientes determinándose que aún con el nivel de fraude esperado, el beneficio era mucho mayor que los costos. La implementación no se realizó por la estatización de la Banca privada en el 87 y nunca sabremos cómo hubiese marchado esta innovación.</p> <p>El otro lado de la moneda de la atención con calidad era -y sigue siendo- el tema de los costos. El Banco, por ser un prestador de servicios que son intensos en mano de obra, al crecer necesita implementar más agencias y contratar aun más personal y esto implica un crecimiento de sus costos que va a la par que el desarrollo. Los bancos no “tercerizan” la atención de su público ni cuentan con “distribuidores” de sus productos. Están irremediablemente integrados verticalmente.</p> <p>Pero a mediados de los ochenta, una nueva tecnología se hizo presente: el Cajero Automático. La banca no tomó mucho tiempo en darse cuenta que esta innovación también le entregaba una llave para desacoplar los costos del crecimiento: el cajero automático no sólo significó una alternativa para el cliente si no que también se configuró como una opción para “desviar al público de las ventanillas”; el sueño dorado de la Gerencia de Operaciones.</p> <p>Con los archivos centrales unificados y las nuevas tecnologías, las opciones de mejoras se multiplicaron. Ya en los noventa a cada cliente se le entregó una tarjeta con su “PIN” (de Número de Identificación Personal, en inglés) y esta sola cifra le daba acceso a todas sus cuentas de manera que el empleado de ventanilla ya no tenía que introducir los datos al sistema cada vez. Los errores disminuyeron y las transacciones se agilizaron: ahora basta con que el cliente pase su tarjeta por un lector y sus datos son seleccionados automáticamente.</p> <p>Además, así como la tecnología a de los cajeros automáticos siguió mejorando, también se fue especializando, por lo que ahora hay los que sólo se dedican a dar información (saldos, movimientos) y los que sólo dispensan monedas.</p> <p>El desarrollo de la Banca por Internet ha significado el apogeo de la atención Bancaria en lo que a transacciones se refiere y también como un gran apoyo en el empeño de mantener los costos desligados del crecimiento.</p> <p>Sin embargo a pesar de todos los adelantos, la cola no ha desaparecido. A no ser que exista un cien por ciento de autoservicio bancario, ella no va a abandonarnos.</p> <p>Ante esta realidad, ¿qué han hecho los bancos para mejorar el confort del cliente en las agencias? Muchos han creado Gerencias de Calidad, con voz en las decisiones de políticas relacionadas al personal las cuales contemplan tanto los factores de contexto del trabajo así como los de motivación y liderazgo, ante el entendimiento que no se puede esperar un buen trato hacia el cliente si el personal que lo atiende no está satisfecho en su centro laboral. Así mismo, se ha incrementado el énfasis en el entrenamiento y en la escogencia del empleado. Con la presión que implica atender en una ventanilla bancaria y la cruda realidad de que no se puede dar un proyecto de desarrollo laboral en la institución a cada uno de los empleados que laboran en contacto directo con la clientela, ahora más que nunca se toma en cuenta tanto la personalidad como los estilos de vida del futuro trabajador.</p> <p>Pero también se ha incluido en el arsenal un instrumento secreto, que pasa desapercibido por la conciencia de los clientes, con la finalidad de seguir manteniendo los nocivos efectos de la ineludible cola al menor nivel posible: el arma psicológica. Basta con apretar un botón para que una máquina nos entregue un “ticket” que nos servirá para hacer una cola ordenada sin la ansiedad de que alguien se “nos cuele”. Así mismo, cada persona es atendida estrictamente por orden de llegada<a href="#_ftn1_3987" name="_ftnref1_3987">[1]</a>. La espera la hace cómodamente sentada y distraída viendo televisión en un ambiente climatizado hasta que llegue el turno de atención con una velocidad de transacción más rápida que las de antaño.</p> <p>René Gastelumendi Dargent, 6 de Febrero del 2006 / 16 de Enero del 2010</p> <hr align="left" size="1" width="33%" /> <p><a href="#_ftnref1_3987" name="_ftn1_3987">[1]</a> En realidad aún en este caso existe una segmentación entre clientes del banco y clientes de otro banco así como clientes del propio banco de mayor o menor importancia.</p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-36747563733855072952009-12-05T10:32:00.001-08:002009-12-09T08:50:29.503-08:00Cuento Corto<p align="center">Todas las preguntas</p> <p>Fue el 24 de mayo del año 61,252 antes de Cristo que Dios juzgó al primero. La sentencia se decidió de acuerdo a una sola respuesta cuando Preguntó ¿porqué engañaste? No hubo otro juicio hasta el de un hijo de una hija del primero. La pregunta fue la misma. Para el 59,000, eran dos más, ¿por qué no fuiste tú mismo? y ¿por qué no cumpliste? La primera hembra se enfrentó el 15 de diciembre del 58,981, cuando, además, se le interrogó con esta frase: ¿por qué dejaste de alimentarlo? Para el 47,001 se utilizaron combinaciones como ¿Por qué engañaste no siendo tu mismo? o ¿por qué no lo hiciste y dejaste morir? además de ¿por qué no escuchaste? y ¿por qué hiciste tuyo lo que no te pertenecía? A partir del juicio número 4,632 –inclusive- se añadieron las siguientes interrogantes: ¿Por qué no ayudaste? ¿Por qué no respetaste? que, con las anteriores -en muchas combinaciones- son las únicas preguntas que se hacen. Aún hoy en día.</p> <p> </p> <p align="center">FIN <br /></p> <p><font size="1">Idea fundamental del relato:</font></p> <p><font size="1">El cuento combina el juicio Divino al primer ser humano (se estima que apareció hace cerca de 60,000 años) luego de su muerte y que es juzgado de acuerdo a reglas morales.</font></p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-33668918275852128952009-11-06T12:34:00.001-08:002010-01-09T19:51:57.026-08:00Cuento Corto Paradojal<p>Anoche soñó que Dios le decía:</p><p>“Yo no Existo”</p><p>Hoy, ya no cree en él.</p>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-14849316450726900012009-10-20T17:15:00.001-07:002009-10-20T17:15:20.915-07:00Tres actores para el mismo personaje<p> </p> <p align="center"><b>-Un caso de Isomorfismo-</b></p> <p align="left"><strong><font size="1">Respuesta a tarea para mis alumnos de ingeniería con la finalidad de que vean que todo es lo mismo.</font></strong></p> <p><b>Actor 1: Crecimiento Poblacional</b></p> <p>Sea α la tasa de nacimientos de una población, por lo tanto el crecimiento en un tiempo, t, se expresa:</p> <p><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5ScTYNslI/AAAAAAAABNc/sXLhTTB-9Vw/s1600-h/clip_image002%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image002" border="0" alt="clip_image002" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SdMSoXNI/AAAAAAAABNg/cUYW8QoI0Ew/clip_image002_thumb.gif?imgmax=800" width="74" height="20" /></a></p> <p>Por otro lado, sea β la tasa de mortandad de una población, por lo tanto la cantidad de disminución de la población dada por ese factor es, </p> <p><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5Sd4A2WUI/AAAAAAAABNk/8CQsHl9XJ-8/s1600-h/clip_image004%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image004" border="0" alt="clip_image004" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SeJn8zvI/AAAAAAAABNo/DBdbGXmyqOo/clip_image004_thumb.gif?imgmax=800" width="74" height="20" /></a></p> <p>La expresión para el crecimiento neto de la población es por tanto, </p> <p><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SesIeSmI/AAAAAAAABNs/DrEBiOhTZ8E/s1600-h/clip_image006%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image006" border="0" alt="clip_image006" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SfBUuySI/AAAAAAAABNw/fNHQSFqRbvU/clip_image006_thumb.gif?imgmax=800" width="113" height="20" /></a></p> <p>y la tasa de cambio neto será,</p> <p><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SfY7csvI/AAAAAAAABN0/JUqmd9ZoXL0/s1600-h/clip_image008%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image008" border="0" alt="clip_image008" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SfwplZBI/AAAAAAAABN4/Saqyc_DDF_U/clip_image008_thumb.gif?imgmax=800" width="134" height="20" /></a></p> <p><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SgQVJ9dI/AAAAAAAABN8/OPp_f8aE4lY/s1600-h/clip_image010%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image010" border="0" alt="clip_image010" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5Sg-dWHgI/AAAAAAAABOA/fs0sGfh3wqU/clip_image010_thumb.gif?imgmax=800" width="104" height="36" /></a></p> <p>que cuando ∆t->0, y haciendo (α-β) = k, obtenemos,</p> <p><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5ShX3_pEI/AAAAAAAABOE/sfMI4uQ145A/s1600-h/clip_image012%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image012" border="0" alt="clip_image012" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5Sh9dvO_I/AAAAAAAABOI/StpefF0lrzc/clip_image012_thumb.gif?imgmax=800" width="55" height="36" /></a></p> <p>que es el enunciado del Crecimiento Poblacional en donde la tasa de cambio de la población con el tiempo, t, es <b><i>proporcional</i></b> a la cantidad de población que hay en un momento dado.</p> <p><b>Actor 2: Ley de Enfriamiento de Newton</b></p> <p>“La razón de cambio de la temperatura de un objeto es <b><i>proporcional</i></b> a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura del ambiente.”</p> <p>Esto quiere decir, que un objeto a temperatura T<sub>1</sub> dentro de un ambiente con temperatura A (menor que T<sub>1</sub>), alcanzará la temperatura T<sub>2</sub> , en un ∆t, que depende de (T<sub>1</sub> – A). </p> <p>Luego, la temperatura T<sub>3</sub> se alcanzará a un ∆t que depende de (T<sub>2</sub>-A), y así sucesivamente.</p> <p>Podemos escribir, entonces:</p> <p><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SiRk7KkI/AAAAAAAABOM/ShsOMeLiIdw/s1600-h/clip_image014%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image014" border="0" alt="clip_image014" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SikT5aiI/AAAAAAAABOQ/irmWTs91VB4/clip_image014_thumb.gif?imgmax=800" width="131" height="28" /></a></p> <p>en donde k es una constante de proporcionalidad y “-“ indica enfriamiento. </p> <p>Cuando ∆t->0, obtenemos,</p> <p><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5Si0WV64I/AAAAAAAABOU/54VJviV7cPQ/s1600-h/clip_image016%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image016" border="0" alt="clip_image016" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SjT0FdqI/AAAAAAAABOY/IORYC0rKxiE/clip_image016_thumb.gif?imgmax=800" width="108" height="36" /></a></p> <p><b>Actor 3: Expresión para el interés compuesto de manera continua.</b></p> <p>Sea <i>i </i>la tasa de interés que paga una institución financiera por fondos depositados en un tiempo dado. Por lo tanto, luego de transcurrido dicho lapso, la cantidad <i>adicional</i> de dinero que se tiene es:</p> <p align="center">K<sub>n</sub> – K<sub>n-1</sub> = <i>i</i>K<sub>n-1</sub> t<sub>2</sub> - <i>i</i>K<sub>n-1</sub>t1 = <i>i</i>K<sub>n-1</sub>∆t,</p> <p><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5Sj32TZiI/AAAAAAAABOc/6BR-t9TO8vE/s1600-h/clip_image018%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image018" border="0" alt="clip_image018" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SkYl_mJI/AAAAAAAABOg/kxba6QnLwlo/clip_image018_thumb.gif?imgmax=800" width="123" height="36" /></a></p> <p>o lo que es lo mismo, </p> <p><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SktZA7pI/AAAAAAAABOk/O_zh2gYdGf0/s1600-h/clip_image020%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image020" border="0" alt="clip_image020" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SlMNZnuI/AAAAAAAABOo/5jQLsjIbBCM/clip_image020_thumb.gif?imgmax=800" width="54" height="36" /></a><i></i></p> <p>Cuando ∆t->0, obtenemos, </p> <p><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5SlXUl3MI/AAAAAAAABOs/VIQ2W3uJCvY/s1600-h/clip_image022%5B3%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="clip_image022" border="0" alt="clip_image022" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/St5Sl4ToQOI/AAAAAAAABOw/27SRQojTFr8/clip_image022_thumb.gif?imgmax=800" width="54" height="36" /></a></p> <p>Se ha demostrado que las tres expresiones son <i>Isomorfas</i>. ¿En qué lo son? En el…</p> <p><b>Personaje: El modelo matemático: </b>en cada una de estas tres expresiones la <b>razón de cambio </b>de la variable en cuestión es directamente proporcional a <i>sí misma.</i></p> <p>El párrafo de anterior es la respuesta que esperaba por parte de mis alumnos. </p> <p>Fíjense además que no entra ningún número, y esa es la maravilla de la abstracción matemática que permite analizar cantidades, sus relaciones y conexiones con otras sin utilizar un sólo guarismo. ¿Nos asombra entonces que un ingeniero trabaje de la mano con un administrador, un economista, un marketero o un genio de las finanzas cuando al fin y al cabo ambos “viven” de las tasas de cambio de flujos; distintos flujos, pero flujos al fin? No debemos hacerlo. </p> <p>El novelista y científico británico C.P. Snow en su famoso ensayo, “Las dos Culturas” nos hace pensar en la utilidad de “ir a caballo” entre la ciencias y el humanismo. Así entenderemos mejor lo que nos rodea. Vargas Llosa comenta dicho ensayo en:</p> <p>http://www.elpais.com/articulo/opinion/culturas/elpepiopi/19921227elpepiopi_7/Tes?print=1</p> <p>René Gastelumendi Dargent, 19 de Octubre del 2009</p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-69908353329980771172009-09-24T09:25:00.001-07:002010-01-16T08:15:05.851-08:00Poesía<blockquote> <p align="left"><u>MANO</u></p> </blockquote> <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="2" width="450"><tbody> <tr> <td valign="top" width="266"> <p>Mano</p> <p>Mano de mujer</p> <p>Mano de mujer que ama</p> <p>Mano de mujer que te ama</p> <p>La Mano –sólo- de la mujer que amas</p> <p>Mano de la mujer tuya </p> <p>La Mano de la mujer que te ama</p> </td> <td valign="top" width="182"> <p>Mano</p> <p>Mano que acaricia</p> <p>Mano que sientes</p> <p>Mano que cubre</p> <p>Mano que añoras</p> <p>Mano que vives</p> <p>Mano que ignoras</p> </td> </tr> </tbody></table> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-77004635892512416902009-06-27T07:43:00.001-07:002009-06-27T07:54:25.756-07:00Madurez y Desempeño Académico en la Universidad<p align="center"><font size="1">Escrito para a revista del área de Calidad Educativa de la UPC (Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas) <br /> referido a mis experiencias como Orientador de alumnos de la institución.</font></p> <p>Los asesores académicos de la UPC somos un equipo de profesores que tenemos la labor de orientar y apoyar al alumno en riesgo académico para que encuentre su propia manera de superar exitosamente los escollos con los que tropieza durante su paso por la universidad. Estos son de diversa índole pero sobresalen los motivos personales –tanto familiares como individuales-, las dudas vocacionales, y la carencia de un método de estudio lo que hace que nuestra labor sea muy variada. Pero existe una causa de riesgo –soterrada ella - que es difícil de definir en una frase y, que además, requiere otro tipo de actitud para su manejo; hablamos de la inmadurez. La inmadurez puede ser la razón subyacente para síntomas como la falta de motivación, el desconcierto con los cursos y de la frustración con la carrera. En nuestras reuniones nos referimos ella cuando el alumno no tiene una actitud crítica ante la vida, se llena de razones, externas a el, para justificar su desempeño y tampoco está al corriente de las características de la profesión en la cual se está formando, entre otras señales. Ante un alumno inmaduro, ¿cuál debe de ser el trabajo del asesor? A veces nos sentimos como un faro que, gracias a su continua e insistente señal advierte al alumno sobre los riesgos del comportamiento pueril para que, con sus propios medios llegue a buen destino. Pero en la práctica debemos asumir la actitud del escucha activo, interviniendo de vez en cuando con pocas pero bien pensadas preguntas que conduzcan al alumno a cuestionarse y a realizar una introspección para que el sólo vaya encontrando las respuestas que le hagan sentido y se estimule para continuar su búsqueda. En pocas palabras, pacientes, pero estrictos, debemos participar en la puesta en marcha del círculo virtuoso del auto-descubrimiento. El sicoanalista francés Jacques Lacan ilustra con un juego de palabras como puede apoyar un padre a su hijo: “pour perseverer il faut avoir un père severe”; en castellano, “para perseverar, se debe tener un padre severo” (y, por supuesto, cariñoso). </p> <p>Para cumplir con las competencias que la UPC demanda de sus alumnos, la madurez es esencial porque en su ausencia, el individuo no puede tener ni la orientación al logro ni conocer la realidad y asumir su responsabilidad frente a ella. </p> <p>Finalmente, tenemos que mencionar el placer que sentimos cuando nuestros alumnos, un buen día, entran a nuestra oficina con otra actitud y mirada que refleja la satisfacción de administrar su propio destino.</p> <p>René Gastelumendi Dargent</p> <p>UPC, Lima, 22 de Febrero del 2005</p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-29432498603209275372009-04-22T06:18:00.001-07:002009-11-10T05:17:27.067-08:00¿Que hay en un nombre?<p>Nombres de algunos micros de la ruta que va por la Primavera hasta La Encalda y en otros lados.</p> <ul> <li>Nombres cariñosos o sentimentales <ul> <li>"Robertito 'for ever' " </li> <li>"Su amor de mi madre" </li> <li>"Que Dios te cuide, Amigo" (visto en Cusco). </li> <li>"Mal Amigo" </li> <li>"Esperanza I" </li> <li>“Made in Angel” <br /></li> </ul> </li> </ul> <p> </p> <ul> <li>Jocosos y costumbristas <ul> <li>"Made in Zapatito"<br /></li><li>"Luz, Rosario y su papi, 'El Gordito' " </li> <li>"El Titanic Goyo" </li> <li>"El Negrito 'papirriqui' " </li> <li>"Megatrón" </li> <li>"En Memoria de mi tío 'Mecha Brava' " </li> <li>"Perico Metralla" </li> <li>"Si la envidia fuera oro, millonario serías" </li> <li>"Quítame la botella pero no la bebida" </li> <li>" 'The Especialista', conserve su distancia, mín. 500 metros" </li> <li>"Josept" </li> <li>"Después te explico" </li> <li>"Tortumóvil" </li> <li>"The Seven II" </li> <li>"Cicatriz" </li> <li>"Hijo, yo soy tu tío" <br /></li> </ul> </li> </ul> <p> </p> <ul> <li>Insólitos <ul> <li>"www. lagrimastour. com" </li> </ul> <p> </p> </li> </ul> <ul> <li>¡Que significados habrán acá, en este meganombre! ¡Que correspondencias habrá entre el nombre con el Ideal de quien lo puso! <br /> <ul> <li>“Erik Smith Rocky Jesus” </li> </ul> </li> </ul> <p>¡Pásu! </p> <ul> <li>Agresivos o relacionados al estilo de conducir propio del Microbusero <ul> <li>"Dangerous" </li> <li>"Perico Metralla" </li> <li>"Cicatriz" </li> <li>"Ya Fuistes I" </li> <li>"Alto Riesgo" </li> <li>"Fuego" </li> <li>"Ábrete piojo, que aquí viene tu peine" (visto en Méjico) </li> </ul> </li> </ul> <p>Nombres de algunos Buques de Guerra ingleses en Trafalgar</p> <ul> <li>Los que denotan denotan voluntad de triunfo y agresividad bélica <ul> <li>"Victory" </li> <li>"Dreadnought" </li> <li>"Revenge" </li> <li>"Mars" </li> <li>"Colossus" </li> <li>"Tonnant" </li> <li>"Defense" </li> <li>"Conqueror" </li> <li>"Defianse" </li> <li>"Thunderer" </li> </ul> </li> </ul> <p> </p> <ul> <li>Descriptivos o en memoria de alguien o algo <br /> <ul> <li>Royal Sovereign </li> <li>Prince </li> <li>Ajax </li> <li>Minotaur </li> <li>Belleisle </li> <li>Britannia </li> <li>Africa </li> <li>Orian </li> </ul> </li> </ul> <p> </p> <p>Nombres de algunos Buques de Guerra Españoles en Trafalgar <br /></p> <ul> <li>No denotan voluntad de triunfo, o que el destino no está en sus manos. <ul> <li>Santísima Trinidad </li> <li>San Juan Nepomuceno </li> <li>Santa Ana </li> <li>San Agustin </li> <li>San Francisco de Asis </li> <li>San Idelfonso </li> <li>San Justo </li> <li>San Leandro <br /></li> </ul> </li> <li>Los que denotan denotan voluntad de triunfo y agresividad bélica : Ninguno </li> </ul>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-63740372365919687162009-02-15T08:48:00.000-08:002009-03-27T06:49:31.844-07:00Neuroplasticidad – otra razón para estudiar<p>A todos los profesores nos ha ocurrido escuchar las protestas de los alumnos cuando se les encarga trabajos, sobre todo a fin de ciclo. Allí aprovecho para decirles que, gracias a esos períodos intensos de focalización, podrían aumentar su capacidad intelectual. En realidad a lo que me estoy refiriendo es al descubrimiento de la <i>Neuroplasticidad</i>, o las adaptaciones físicas del cerebro a las exigencias a las que se le somete.</p> <p>Durante sus casi 100 años de existencia, la ciencia neurológica ha tenido un dogma central: el cerebro adulto no tiene capacidad para mejorar, sólo para degenerar. Sin embargo, desde hace unos 7 años (esto ha sido escrito en el 2003), los neurólogos están confirmando que no sólo puede generar nuevas neuronas –neurogéneis -si no que además establece nuevas conexiones –neuroplasticidad. El cerebro, como muchos otros órganos, también responde al ejercicio. Con la neurogénesis se están ensayando terapias que estimulan a cerebros enfermos a auto-curarse. Es más, en un estudio publicado en la “Journal of the American Medical Association” se consigna que la actividad mental, tal como leer el periódico todos los días, puede mantener controlada a la temida Alzheimer.</p> <p>Otro estudio confirma que un grupo de ejercicios diseñados tanto para la mente como para el cuerpo han mejorado el desempeño del cerebro: los ejercicios intensos han revertido el efecto de daños neurológicos. Pensamos que este tema no debe de resultar extraño a las personas que han meditado o han practicado la bioretroalimentación o se ha sometido psicoterapia, por que, a no dudarlo, el haber concentrado la mente en un objetivo ha causado un cambio en su comportamiento.</p> <p>La plasticidad neuronal, también está siendo utilizada para curar ciertas dolencias tales como el Trastorno Obsesivo Compulsivo -TOC- en que los individuos que lo padecen sienten urgencias para realizar determinados actos y soportan también torrentes de ideas intrusivas que les perturba el tren normal del pensamiento. Como ejemplo de urgencia, ellos pueden sufrir una compulsión irresistible para lavarse las manos repetidamente luego de abrir una puerta porque la “perilla está llena de gérmenes dañinos.” En la película <i>Mejor, imposible</i>, Jack Nicholson encarna a un personaje con esta dolencia.</p> <p>Los investigadores Jeffrey M. Schwartz y Sharon Begley en su libro <i>The Mind and the Brain</i> establecen como paso crítico para lograr la plasticidad cerebral el llamado <i>Mindful Awareness </i>que podemos traducir como “tomar conciencia con un propósito”; una suerte de enrumbar, con plena y completa responsabilidad y atención, los esfuerzos de la mente hacia un objetivo. Schwartz y Begley, además, han desarrollado un tratamiento para mejorar a las personas con TOC a través de un método de varios pasos, siendo el principal el <i>Re-enfoque</i> donde se aplica el <i>Mindful Awarenes </i>para que la persona dirija sus obsesiones y compulsiones hacia un comportamiento constructivo, por ejemplo, “voy a regar el jardín” en vez de “voy a lavarme las manos otra vez”.</p> <p>En el mundo del estudiante –de todas las edades- la actividad intelectual intensa equivale al mencionado estado mental. Esta disposición del intelecto del alumno por aprender dispara un evento descrito por Schwartz y Begley, con estas palabras: “casi como la época del desarrollo del cerebro durante la niñez, la experiencia cambia la conectividad de las neuronas en respuesta a los circuitos que están más activos. El aprendizaje de nuevas habilidades refuerzan miles de millones de conexiones sinápticas.” </p> <p>Es muy posible que la conocida <i>curva de aprendizaje</i> sea no sólo un resultado cognitivo por medio del cual se establecen sinergias entre distintas habilidades, si no también una re-configuración de nuestra red neuronal para hacerse más eficiente y por lo tanto más inteligente. </p> <p>El alumno que entró a la universidad no es el mismo que el alumno que salió de ella y no solo por la madurez que adquiere como resultado de los años ni tampoco por la mayor cantidad de información o de técnicas que maneja, si no por que su cerebro ha sido reconfigurado para ser un instrumento de mucho mayor desempeño.</p> <p>Este descubrimiento es definitivamente una razón para seguir estudiando.</p> <p> </p> <p>René Gastelumendi, Noviembre del 2003</p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-44049885719570225592009-02-06T10:58:00.000-08:002009-03-30T14:19:55.871-07:00Los Payasos - ¡qué sensaciones me provocan! Se las conté a mi hermano Eo (Eduardo) que es psicoanalista.<p></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: geo">Eo, </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Venía pensando en el Circo, pero más en los payasos y sobre todo en aquella ubicua pareja de payasos tan discímiles que tanto hemos visto; pensaba en su vestimenta, en su sexo (¿cual será?) y en lo disparatado que son. El payaso dislocado junto al dramático (¿Arlequín? ¿Pierrot?). El primero vestido cómicamente, pero el otro dramáticamente vestido y asimétrico: </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">sólo un ojo pintado, una media negra y la otra blanca... una media luna por algún lado de su capirote, algo esotérico. Su comportamiento es con etiqueta mientras que del otro es impertinente y caótico, sin embargo ambos me parecen absurdos. El Arlequín toca música dulce y melancólica, mientras su pareja hace bulla y se burla. ¿Por qué el saxo? (Antes de su invención, qué instrumento tocaría, ¿el violín?) La voz desgañitada del traposo, ¿será aflautada por echársela de gracioso o será así para ocultar algún verdadero sexo y conferirle al payaso una neutralidad, una asexualidad? </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Me pregunto si los actores ¿serán concientes de lo que representan o sólo repiten una tradición? Y esa tradición, ¿será multimilenaria? </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">¿Qué mundo es ese que representan? </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Un abrazo </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">René </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">PS. Chaplin compuso la música de varias de sus películas: Luces de la Ciudad, Candilejas, Tiempos Modernos, etc. El otro día mientras veía TModernos, no podía dejar de percatarme de la influencia del vaudeville en la partitura y por partes era alegre pero melancólica a la vez. ¿Qué parte del espíritu es esa fibra que toca? </span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">PS 2: Una interesante descripción de los payasos (la encontré hoy, 30 de marzo del 2009) se encuentra en:</span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><a title="http://www.clownplanet.com/tipos.htm" href="http://www.clownplanet.com/tipos.htm">http://www.clownplanet.com/tipos.htm</a></p> <p style="font-family: comic sans ms"><font face="Georgia">Para leer acerca del miedo a los payasos (coulrofobia), ir a :</font></p> <p style="font-family: comic sans ms"><a title="http://es.wikipedia.org/wiki/Coulrofobia" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Coulrofobia">http://es.wikipedia.org/wiki/Coulrofobia</a></p> <p style="font-family: comic sans ms">Algunos Pierrot: </p> <p style="font-family: comic sans ms"><font face="Georgia">-<span style="font-family: geo"><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdExkh1fz9I/AAAAAAAAAZM/z9B1HcpOngE/s1600-h/Pierrot%20disfraz%5B3%5D.jpg"><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdEy0b0PamI/AAAAAAAAAZc/19u4cEyLJE4/s1600-h/Pierrot%202%5B4%5D.jpg"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; border-top: 0px; border-right: 0px" border="0" alt="Pierrot 2" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdEy1F5WPrI/AAAAAAAAAZk/jd6Iy0nT_Pw/Pierrot%202_thumb%5B2%5D.jpg?imgmax=800" width="191" height="236" /><span style="font-family: geo"><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdExkh1fz9I/AAAAAAAAAZM/z9B1HcpOngE/s1600-h/Pierrot%20disfraz%5B3%5D.jpg"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="Pierrot disfraz" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdExlZDWV8I/AAAAAAAAAZQ/8bvSNG6cKic/Pierrot%20disfraz_thumb%5B1%5D.jpg?imgmax=800" width="192" height="237" /><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdE3eAK4XpI/AAAAAAAAAZ8/OFv0XQHIQVo/s1600-h/Les%20Fratellini%5B4%5D.jpg"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; border-top: 0px; border-right: 0px" border="0" alt="Les Fratellini" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdE3ejIxubI/AAAAAAAAAaA/blQ56uFHf0s/Les%20Fratellini_thumb%5B2%5D.jpg?imgmax=800" width="165" height="237" /></a></a></span></a></a></span></font></p> <p style="font-family: comic sans ms"><font face="Georgia"><span style="font-family: geo"><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdEz9wpbdAI/AAAAAAAAAZs/DH7Trzfhq28/s1600-h/Gorro%20de%20Pierrot%5B3%5D.jpg"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; border-top: 0px; border-right: 0px" border="0" alt="Gorro de Pierrot" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdEz-eLLBZI/AAAAAAAAAZw/j04Q9KzvVBI/Gorro%20de%20Pierrot_thumb%5B1%5D.jpg?imgmax=800" width="196" height="222" /></a> <a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdEz-1r8YYI/AAAAAAAAAZ0/FlF9o1tqerY/s1600-h/Pierrot%20y%20saxo%5B3%5D.jpg"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; border-top: 0px; border-right: 0px" border="0" alt="Pierrot y saxo" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SdE0APur5jI/AAAAAAAAAZ4/RzjR3qXVfpU/Pierrot%20y%20saxo_thumb%5B1%5D.jpg?imgmax=800" width="164" height="221" /></a>  </span></font></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></p> <p style="font-family: comic sans ms"><span style="font-size: 100%"></span></p> <p><span style="font-size: 100%"> <br /> <br /> <br /> <br /></span></p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-38055719993749452472009-02-01T13:57:00.000-08:002010-01-23T15:05:28.967-08:00¿Qué hay en una Palabra?<p>Podría ser que:</p> <ul> <li>Aceituna signifique Tuna de Aceite?<br /><br /></li><li>"Persona" en vez de significar "individuo de la especie humana (RAE)", signifique "aquello que trasciende o traspasa al cuerpo" y por lo tanto ¿ se debería de decir persoma o per-soma? <br /><br /></li> <li>"Nostalgia" signifique dolor (algia) de lo que conocemos (gnoto) y que, además, no lo tenemos cerca? ¿Lo escribiríamos como gnostalgia? <br /><br /></li> <li>“Encerrado” signifique eso mismo: estar metido entre cerros, y sin salida? </li></ul><ul><li>“Promiscuo” signifique inclinado hacia (pro) mezclar (misceo, miscui, =mezclar en latín)?<br /><br /></li><li>"Diminuto" sea una décima de minuto?</li> </ul> <p>Se sabe que:</p> <ul> <li>“Regodearse” significa volver a gozar con algo: esto viene de re y gaudere (alegrarse, en latín.) <br /><br /></li> <li>René (mi nombre) se traduce del francés como "vuelto a nacer", y su significado es "bautizado" o "vuelto a nacer pero esta vez, como cristiano" <br /><br /></li> <li>"Nausea" es un término <span class="Apple-style-span" style="color:#FF0000;">náu</span>tico y se refiere al terible malestar físico que puede generar un viaje por mar. </li> </ul>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-79546160474341358412009-01-30T18:30:00.000-08:002009-06-20T18:38:41.491-07:00Entropía, Origen del Concepto.<div style="width:425px;text-align:left" id="__ss_1614411"><a style="font:14px Helvetica,Arial,Sans-serif;display:block;margin:12px 0 3px 0;text-decoration:underline;" href="http://www.slideshare.net/apotecarius/entropia-origen-del-concepto-entropy-origin-of-the-concept-1614411?type=powerpoint" title="Entropia, Origen Del Concepto Entropy, Origin Of The Concept">Entropia, Origen Del Concepto Entropy, Origin Of The Concept</a><object style="margin:0px" width="425" height="355"><param name="movie" value="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=entropiaorigendelconceptoentropyoriginoftheconceptcastellano-090620192515-phpapp02&stripped_title=entropia-origen-del-concepto-entropy-origin-of-the-concept-1614411" /><param name="allowFullScreen" value="true"/><param name="allowScriptAccess" value="always"/><embed src="http://static.slidesharecdn.com/swf/ssplayer2.swf?doc=entropiaorigendelconceptoentropyoriginoftheconceptcastellano-090620192515-phpapp02&stripped_title=entropia-origen-del-concepto-entropy-origin-of-the-concept-1614411" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="425" height="355"></embed></object><div style="font-size:11px;font-family:tahoma,arial;height:26px;padding-top:2px;">View more <a style="text-decoration:underline;" href="http://www.slideshare.net/">OpenOffice presentations</a> from <a style="text-decoration:underline;" href="http://www.slideshare.net/apotecarius">Rene Gastelumendi</a>.</div></div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-990853269346028892009-01-25T11:58:00.000-08:002009-09-27T09:19:02.261-07:00La Entropía en la Macro y Microeconomía: dos instancias<p></p> <p align="center"><span style="font-size: 78%"><em>________________________________________________________________</em></span></p> <p align="center"><span style="font-size: 78%"><em>En otra parte de nuestro blog nos hemos referido al origen del concepto de Entropia. En esta oportunidad deseamos relacionar ese concepto de la Termodinámica, nacido del estudio de los motores térmicos,  a la Economía,  basándonos en el hecho que ambas disciplinas tienen un común denominador: la Energía. Entendemos la Energía como la capacidad de realizar Trabajo. En las ciencias se estudian sus cambios pues ella se manifiesta en distintas formas tales como la calórica, la eléctrica, la gravitacional, la quimica y la mecánica mientras que en la Economía está presente la energía de la sociedad cristalizada en la Moneda. En este sentido, el dinero puede interpretarse como la energía que utiliza la sociedad para los procesos de generación y distribución de recursos. Desde el punto de vista microeconómico, una empresa,  con sus procesos administrativos, puede  compararse con un dispositivo mecánico motorizado, recordando que los motores son transformadores de un tipo de energía en otra <font color="#ff0000">[1]</font>  y los procesos administrativos transforman un input en un output con, es de esperar, valor agregado.</em></span></p> <p align="center"> </p> <p>¿Qué sucedería si se reparte un millón de soles entre un millón de personas? Un principio de la Física nos puede dar una indicación por la razón de que mide la pérdida de <em>energía disponible</em> para hacer trabajo de los sistemas. Este prinicpio se llama Entropía.</p> <p>Dejado a su libre albedrío, un sistema se desordena espontáneamente y reduce la calidad de su energía. </p> <p align="center"><span style="font-size: 78%"><em>_____________________________________________________________</em></span></p> <blockquote> <p align="center"><span style="font-size: 78%"><em><strong><font size="2"></font></strong></em></span></p> <p align="center"><span style="font-size: 78%"><em><strong><font size="2">“La Entropía es una medida de la pérdida de la capacidad para hacer trabajo por parte de la Energía.”  <br /></font></strong></em></span></p> <p align="center"><span style="font-size: 78%"><em>____________________________________________________________</em></span></p> </blockquote> <p>En el caso del millón de soles, estos se pueden dar por perdidos. Al estar cada moneda en un bolsillo distinto, estarán tan esparcidas como lo estarán las personas mismas que las llevan. ¡Que diferencia al trabajo que puede hacer ese mismo millón de soles juntos! </p> <blockquote> <p align="center"><strong><em>________________________________________________</em></strong></p> <p align="center"><strong><em></em></strong></p> <p align="center"><strong><em>“Al distribuirse sin ton ni son, el dinero se ha entropizado, y ha perdido su capacidad de trabajar para generar valor</em></strong>.”</p> <p align="center">_______________________________________________________</p> <p> </p> </blockquote> <p align="justify">Desde el punto de vista Macroeconómico, el concepto de Entropía se aplica a la perfección a un invento de la sociedad que reduce el desorden del dinero circulante: el Banco. Sus depósitos provienen de millones de indivíduos distribuídos aleatoriamente, pero que al colocar sus dineros en los bancos, estos últimos retornan los soles al ciclo económico de manera  ordenada y productiva. </p> <blockquote> <p align="center"><em><strong>_________________________________________________ <br /> <br /> <br />“Las Insituciones Financieras son reductoras de la entropía del dinero circulante en el sistema monetario.” <br /></strong></em></p> <p align="center"><em><strong>_________________________________________________</strong></em></p> </blockquote> <p>Desde el punto de vista Microeconómico, aspecto que analizaremos más detenidamente, el concepto se aplica muy bien a la Empresa por la razón de está compuesta por procesos <font color="#ff0000">[2]</font> que deseamos sean eficentes (con poca entropía).</p> <p>Ahora bien, una empresa que cumple con estos requisitos tiene las siguientes características: <a href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=99085326934602889#_ftn1_8889" name="_ftnref1_8889"><font color="#ff0000">[3]</font></a></p> <ul> <li>estructura sencilla <br /></li> <li>procesos bien diseñados (llamados robustos) <br /></li> <li>reducido personal administrativo (“overhead”), típicamente 50% menos (a partir de 152 vs 80 personas, en la última línea del cuadro, abajo) que una compañía burocrática e ineficiente. </li> </ul> <p> <br />Además:</p> <ul> <li>En las empresas robustas, el 40% del <em>staff </em>administrativo es personal dedicado a <em>mejorar</em> los procesos y a… <br /></li> <li><em>pensar</em>, (dedicada al análisis, diseño e implementación de los procesos de valor). <br /></li> <li>En la burocrática sólo se dedica el 12.5% a la misma tarea de pensar. <br /></li> <li>Contrariamente a la anterior, en la robusta sólo el 28.8% del tiempo de su personal va a resolver problemas cuando la… <br /></li> <li>burocrática dedica el 63.8%, o sea 2.2 veces más, en términos relativos. </li> </ul> <p align="justify">Este último índice –63.8 %- puede ser típico de las llamadas “compañías <em>bombero”</em> que se desgastan apagando “incendios” en cualquier lugar y momento en vez de invertir sus recursos en manejar sus circunstancias: reacción contra pro-acción, reducción de la incertidumbre versus el caos.  <br /></p> <p align="justify"> <a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sr1ruhBaszI/AAAAAAAABBw/QHkXf46tjxw/s1600-h/image16%5B1%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" title="image" border="0" alt="image" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SrzOUmc0vLI/AAAAAAAABB0/oeBsCPIJB4E/image16_thumb.gif?imgmax=800" width="568" height="262" /></a> Durante el proceso de planificación, cuando el administrador establece los objetivos de la empresa, está fijando un punto de llegada que equivale a un punto de congregación de las energías de la empresa. Así mismo, durante el proceso del análisis FODA, estudia sus procesos y señala  cursos de acción lograr más eficiencia.</p> <p align="justify">No nos extrañe, por lo tanto, que un plan de mejora de la calidad trae como consecuencia una disminución en los costos por la razón de que la calidad también significa orden, estructura, eficiencia, poca redundancia, puntualidad, precio y valor adecuados (todo lo opuesto al desorden y el caos que implica la alta entropía). <br /></p> <p align="justify">Por lo tanto, los beneficios mayores se consiguen reduciendo la entropía del sistema extrayéndole a cada <span style="font-weight: bold">proceso</span> el máximo de trabajo - lo mismo que hace un motor bien diseñado- en virtud de que se reduce la aleatoriedad, la incertidumbre y la improvisación (con orden, estructura, eficiencia y nula redundancia). Está demás decir que todo lo anterior demanda energía, trabajo sostenido y propósito empresarial.</p> <p align="justify">Por último, reflexionemos en lo que nos dice la Naturaleza. Así como admiramos a una empresa o a un país que está adelante de su competencia tanto por la aceptación de sus productos como por la eficiencia de sus procesos, ELLA nos da una muestra del valor del orden en el diseño cuando nos ofrece un Diamante, un trozo de carbón cristalizado de tal manera que es el material de mayor dureza y su estructura es perfecta;  pero también, y por qué no decirlo, el es material natural cuya entropía es <strong>cero</strong>. </p> <p></p> <hr align="left" size="1" width="33%" /> <p></p> <p></p> <p><a href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=99085326934602889#_ftnref1_8889" name="_ftn1_8889"><font color="#ff0000">[1]</font></a> Por ejemplo, la energía quimica de la gasolina se transforma en la energía mecánica que mueve al automóvil) </p> <p><font color="#ff0000">[2] A</font><font color="#000000">dministrativos, productivos, de innovación y los de venta (transformación de inventarios en soles) </font></p> <p><font color="#ff0000">[3]</font> Este y los demás datos sobre empresas Robustas y Burocráticas los tomamos de “The Fallacy of the Overhead Quick Fix”; Harvard Business Review Julio - Agosto 1991 por Mark F. Blaxil y Thomas M. Hout</p> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-70967588708150766982009-01-20T10:21:00.000-08:002009-03-11T15:45:21.840-07:00Llanta cuadrada – Problema tomado a partir de Stan Wagon’s squared bicycle. Solución sin la utilización de ecuaciones diferenciales.<p style="text-align: center;font-family:comic sans ms;" align="center"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span lang="ES-MX" style="font-size:14;">por René Gastelumendi Dargent</span> </span></span></p> <p style="text-align: center;font-family:comic sans ms;" align="center"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span lang="ES-MX" style="font-size:14;"> </span> </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span style="font-variant: small-caps;" lang="ES-MX">El Problema: </span>¿Qué forma geométrica debe de tener una pista para que permita a una llanta cuadrada rodar suavemente sobre ella? </span></span></p> <p style="text-align: center;font-family:comic sans ms;" align="center"><br /><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRtKk62sI/AAAAAAAAADc/oEPZN4hYVh4/s1600-h/clip_image0022.jpg"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" ><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image002" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRt7b2zyI/AAAAAAAAADo/XDOPu9YyI9M/clip_image002_thumb.jpg?imgmax=800" border="0" width="244" height="87" /></span></a><span lang="ES-MX" style="font-size:14;"></span><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" > </span></p> <p style="text-align: center; font-family: comic sans ms;" align="center"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span lang="ES-MX" style="font-size:14;"> </span> </span></span></p> <div style="text-align: left;"><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRuBV1nCI/AAAAAAAAADs/qe9eJNujHpw/s1600-h/clip_image0043.gif"><span style="font-size:100%;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image004" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRu1wjFUI/AAAAAAAAADw/7SJbwQ17ERw/clip_image004_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="260" height="252" /></span></a></div> <div style="text-align: left;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-variant: small-caps;">Un Tema previo: Proporcionalidad de </span><i>r</i><span style="font-variant: small-caps;"> con respecto a <span> </span></span><span style="top: 8.5pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRvD59NpI/AAAAAAAAAD8/MyoNzG4pDwg/s1600-h/clip_image0061.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image006" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRvo4JqhI/AAAAAAAAAEA/mm3Ht7APZJk/clip_image006_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="40" height="57" /></a></span><span style="font-variant: small-caps;font-size:16;" ><span> </span></span><span style="font-variant: small-caps;">durante la rotación de la “rueda”.</span><i><span style="font-variant: small-caps;font-size:16;" ></span></i></span></div> <p face="comic sans ms" style="text-align: center;" align="center"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" ></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Suponiendo incrementos de una fracción de grado, <span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRvwt9stI/AAAAAAAAAEE/UjR9I9MWcrI/s1600-h/clip_image0081.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image008" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRwZ8acAI/AAAAAAAAAEI/2pMzo24jTBI/clip_image008_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="106" height="39" /></a></span>, entonces, para cualquier <br /><span> </span><i>j ≥ 1</i>, la nueva longitud <i>r</i>, del radio, estará expresada por: <span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRwjH_R1I/AAAAAAAAAEM/LEHoB7U8bpI/s1600-h/clip_image0101.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image010" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRxCa3gkI/AAAAAAAAAEQ/jSN7jMtt4QQ/clip_image010_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="119" height="40" /></a></span><sup><span> </span></sup>(1).<i> </i></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Ahora bien, si deseamos representar incrementos más pequeños y más frecuentes, escribimos (1) de la siguiente manera: <span style="top: 7pt;font-size:12;" ><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRxcb6xkI/AAAAAAAAAEU/PFur-NJqDWc/s1600-h/clip_image0121.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image012" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRx72sTkI/AAAAAAAAAEY/8Lx9mNNePBk/clip_image012_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="133" height="51" /></a></span>(2), <br /><br />en donde </span><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><i><span style="font-size:11;">n = jm, m > 1. <br /></span></i> <br />Definamos<span style="font-size:11;">,</span> <span style="top: 7pt;font-size:12;" ><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRyHfDnHI/AAAAAAAAAEc/TICdIRGKAIU/s1600-h/clip_image0141.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image014" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRyp5hfGI/AAAAAAAAAEg/TOeIQQmgQ6o/clip_image014_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="61" height="46" /></a></span><span> </span>, por lo que,<span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRy5EL4RI/AAAAAAAAAEk/9jAtvvI00Ms/s1600-h/clip_image0161.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image016" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRzMF60mI/AAAAAAAAAEo/4TfMCnN6uBo/clip_image016_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="72" height="39" /></a></span><span> </span>de tal forma que (2) queda como <br /><span style="top: 9pt;font-size:12;" ><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRzpYUw6I/AAAAAAAAAEs/WQYxboeCUE8/s1600-h/clip_image0181.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image018" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarRz9kEyaI/AAAAAAAAAEw/TJONps4CMso/clip_image018_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="147" height="60" /></a></span><span> </span>en donde reconocemos que la expresión<span style="top: 7pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR0YTIu5I/AAAAAAAAAE8/qRLZT-Y8PSo/s1600-h/clip_image0201.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image020" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR0t7X_3I/AAAAAAAAAFA/t8TWbmtREwE/clip_image020_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="82" height="53" /></a></span>, entre corchetes, es la definición de <i>e</i> (cuando<span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR1FqtsTI/AAAAAAAAAFE/fRXg9UxMo48/s1600-h/clip_image0221.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image022" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR1SlXGII/AAAAAAAAAFI/VPYHWOEg9LA/clip_image022_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="69" height="39" /></a></span>) y, por lo tanto, <span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR1syv36I/AAAAAAAAAFM/GdnH_6XeEF0/s1600-h/clip_image0249.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image024" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR2I4PuZI/AAAAAAAAAFQ/VF8yOQP9qlE/clip_image024_thumb9.gif?imgmax=800" border="0" width="86" height="40" /></a></span>(3). <br /> <br /></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><b><span style="font-variant: small-caps;">Desarrollo de la expresión para la posición del locus del radio con respecto a </span></b><b><i>y.</i></b><b><i><span style="font-size:10;">(<span style="font-variant: small-caps;">Movimiento vertical</span>)</span></i></b> <br /> <br />Establecida la proporcionalidad, observemos en la figura que el alargamiento hacia abajo del radio, es en los valores negativos de <i>y</i>, razón por la cual a (3) la escribimos como: </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR2dYEEmI/AAAAAAAAAFU/Dwb5mRaH4qc/s1600-h/clip_image0261.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image026" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR29iSbnI/AAAAAAAAAFY/gSPtPO_wvTM/clip_image026_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="94" height="40" /></span></a></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=7096758870815076698#_edn1"><span><span><span><span style="font-size:12;"><span style="font-family:Georgia;">[1]</span></span></span></span></span></a><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" > (4). <br /><br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><b><span style="font-variant: small-caps;">Desarrollo de la expresión para la posición del locus del radio con respecto a </span></b><b><i>x. <br /><span style="font-variant: small-caps;"><span style="font-size:85%;">(Movimiento horizontal). <br /></span></span></i></b></span></span><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span style="font-variant: small-caps;"> <br /></span>La distancia que recorre la rueda cuadrada en dirección horizontal depende de la circunferencia del círculo que a cada instante va dibujando el extremo de <i>r</i>, por lo que decimos que, <span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR3PYGqcI/AAAAAAAAAFc/Xg-Sr-e_0uQ/s1600-h/clip_image0281.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image028" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR3YjZdxI/AAAAAAAAAFg/0UFySds0kHQ/clip_image028_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="205" height="40" /></a></span><span> </span>en donde la expresión de la derecha resulta de reemplazar <span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR3wladBI/AAAAAAAAAFk/CjfmsFgf2nc/s1600-h/clip_image0301.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image030" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR4GZF9NI/AAAAAAAAAFo/lKPvETS3EX0/clip_image030_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="31" height="39" /></a></span>con (3). </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Al efectuar <span> </span><span style="top: 7pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR4gaP71I/AAAAAAAAAFs/Q2cyFp200TE/s1600-h/clip_image0321.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image032" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR5FQW59I/AAAAAAAAAFw/xXO4PD7gOzk/clip_image032_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="150" height="49" /></a></span><span> </span>obtenemos <span> </span><span style="top: 4.5pt;font-size:12;" ><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR5gQEIzI/AAAAAAAAAF0/o_lRgDIDUwU/s1600-h/clip_image0341.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image034" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR53eJGuI/AAAAAAAAAF4/6cbbYEIzIqg/clip_image034_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="144" height="42" /></a></span>que finalmente se reduce a: </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span> </span><span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa7_4DbCAiI/AAAAAAAAAXg/RmL9XIo9mY4/s1600-h/clip_image036%5B1%5D.gif"><img style="border: 0px none ;" alt="clip_image036" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR69qdXFI/AAAAAAAAAXk/8jZatORqC7s/clip_image036_thumb.gif?imgmax=800" align="left" border="0" width="93" height="48" /></a></span> </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span style="font-variant: small-caps;">(5).</span></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><b><span style="font-variant: small-caps;"></span></b></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><b><span style="font-variant: small-caps;"></span></b></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><b><span style="font-variant: small-caps;">Desarrollo de la expresión para el locus del radio.</span></b> </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Recapitulando, el movimiento está dado por la combinación de dos factores; el primero, la longitud del radio en cualquier momento y, el segundo, la distancia horizontal recorrida, <span style="top: 3pt;"><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR7Gs6pGI/AAAAAAAAAGM/KxDsJNxffAk/s1600-h/clip_image0381.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image038" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR7lY6AAI/AAAAAAAAAGQ/_LGi57AbkVs/clip_image038_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="49" height="39" /></a></span><i>,</i> y, por lo tanto, el locus se puede describir: </span> <br /><span style="top: 4.5pt;font-size:12;" ><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR8SUH2BI/AAAAAAAAAGc/QbYYgfqyGHU/s1600-h/clip_image0401.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image040" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR85PtAZI/AAAAAAAAAGg/untdC9zRglo/clip_image040_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="207" height="42" /></span></a></span><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >(6). </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Tomando en cuenta que el radio inicial es igual a la mitad del lado del cuadrado, <i>r<sub>o</sub></i><sub> </sub><b><i>= </i></b><i>l / 2, </i>reemplazamos este valor en (6) para finalmente obtener: </span><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" > </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style="top: 7pt;font-size:12;" ><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR9PYUcmI/AAAAAAAAAGk/QNDMeuLoo8w/s1600-h/clip_image0422.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img alt="clip_image042" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR9jCkPaI/AAAAAAAAAGo/YhranE185sY/clip_image042_thumb2.gif?imgmax=800" width="176" height="27" /></span></a></span><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span> </span><span> </span>(7) </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Para transformar (7) en <b><i>cosh(x)</i></b>, observamos en la figura de arriba que: </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >(a)<span> </span><i>R</i> es el radio del círculo <i>C</i> que circunscribe al cuadrado de lado <i>l</i>, <br />(b) El radio, <i>R</i>, tiene valor, <span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR-PL_QAI/AAAAAAAAAGs/2mQnGSr_NTg/s1600-h/clip_image0441.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image044" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR-nf-4eI/AAAAAAAAAGw/tEwKYTHQuZk/clip_image044_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="45" height="41" /></a></span><span> </span>,y que <br />(c)<i> </i><span style="top: 3pt;font-size:12;" ><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarR_EwcLaI/AAAAAAAAAG0/gV7SpdADAjk/s1600-h/clip_image0461.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image046" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSAJL3YWI/AAAAAAAAAG4/_H-PQVTPad4/clip_image046_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="70" height="39" /></a></span>. <br />Despejando <i>θ </i>en (c) , obtenemos <span style="top: 7.5pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSApvHBdI/AAAAAAAAAG8/SGq0kFIoYj0/s1600-h/clip_image0481.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image048" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSBKTZTjI/AAAAAAAAAHA/A72YcjIQqjI/clip_image048_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="75" height="47" /></a></span><span> </span>. </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Por lo tanto (7) queda como </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><br /><span style="top: 9pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSBvi7ZnI/AAAAAAAAAHE/bWyXLlbhjKA/s1600-h/clip_image0511.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px; width: 239px; height: 59px;" alt="clip_image051" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSCHEXmtI/AAAAAAAAAHI/wxmlLlUPBa8/clip_image051_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" /></span></a></span><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"><span> </span><span> </span>(8) <br /> <br /></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >que es lo que queríamos encontrar. </span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" ></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt; text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >Ver también: </span><a href="http://radio.weblogs.com/0105910/2004/04/05.html"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >http://radio.weblogs.com/0105910/2004/04/05.html</span></a><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" > </span></p> <p style="text-align: left;font-family:comic sans ms;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" > </span></p> <div style="text-align: left;font-family:comic sans ms;"> <span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" > <hr style="margin-left: 0px; margin-right: auto; height: 3px;" size="1" width="33%"></span> <p><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=7096758870815076698#_ednref1"><span><span><span><span style="font-size:10;"><span style=";font-family:Georgia;font-size:100%;" >[1]</span></span></span></span></span></a><span style="font-size:100%;"><span style="font-family:Georgia;"> <span lang="ES-MX">A partir de <span> </span></span><span style="top: 7.5pt;font-size:12;" ><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSCZA0wUI/AAAAAAAAAHM/CaJsnhBcE2c/s1600-h/clip_image0531.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image053" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarSDMyWHLI/AAAAAAAAAHQ/Ow4HFoUkEfs/clip_image053_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="134" height="49" /></a></span><span lang="ES-MX" style="font-size:12;"></span></span></span></p> </div>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-73123884548003552702009-01-15T08:26:00.000-08:002009-03-11T15:44:59.589-07:00Deduction of the Expression for Curvature using elementary calculus<p>Dear sirs</p> <p>In Calculus textbooks, the concept of curvature is usually presented in the chapter of Polar Coordinates, and the exposition is done, of course, in that context, i.e., that of polar coordinates, using angles. Afterwards usually there is a “translation” to Cartesian coordinates that, I feel, is not very natural. Or, as in the example below, from <a href="http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html">http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html</a> one finds a description using parametric equations.</p> <p>A simpler, more direct and intuitive approach for begining students may be obtained considering the curvature explicitly as the rate of change of the tangent with respect of a portion of arc. In this sense we could formally say:</p> <p>“Consider curvature as the relation between the rate of change of the tangent with respect a portion of a curve. Then we relate the tangent of f(x) with an infinitesimal portion of f(x) and form<a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOr86DC5I/AAAAAAAAAXs/gLw1e1Ws0hA/s1600-h/clip_image00265.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image002[6]" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOtNx9U3I/AAAAAAAAAXw/u3N19yrQZX0/clip_image0026_thumb3.gif?imgmax=800" border="0" width="120" height="98" /></a>or <a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOtpjPqNI/AAAAAAAAAX0/6UMD9_L2x34/s1600-h/clip_image00283.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image002[8]" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOufAyUsI/AAAAAAAAAX4/HT6EmXHOsGM/clip_image0028_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="153" height="66" /></a></p> <p>As we seek the variation of y´ with respect to s´ we obtain the derivative of <i>C</i>(x), thus:</p> <p><br /><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOuwX0T-I/AAAAAAAAAX8/p31MNGmeSCc/s1600-h/clip_image002104.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image002[10]" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOvd1D1MI/AAAAAAAAAYA/wwWQoOgOyGI/clip_image00210_thumb2.gif?imgmax=800" align="left" border="0" width="142" height="60" /></a> or <a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOwULAjhI/AAAAAAAAAYE/X2QVcUI-oZU/s1600-h/clip_image002143.gif"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image002[14]" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFOxBXm2gI/AAAAAAAAAYI/gP4lDWAH55U/clip_image00214_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="152" height="66" /></a></p> <p>taking the first derivative, we obtain:</p> <p><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFP7eJcCHI/AAAAAAAAAYM/Ghv8YdLu8Yk/s1600-h/clip_image002%5B10%5D.gif"><img style="border: 0px none ;" alt="clip_image002" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFP78yXVwI/AAAAAAAAAYQ/2r1Qxf7A8zE/clip_image002_thumb%5B7%5D.gif?imgmax=800" border="0" width="461" height="89" /></a></p> <p>or, after rearranging,</p> <p> <a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFP8gMSYkI/AAAAAAAAAYU/ayLlvwBDYy8/s1600-h/clip_image002%5B11%5D%5B3%5D.gif"><img style="border: 0px none ;" alt="clip_image002[11]" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SbFP-H374sI/AAAAAAAAAYY/ckGFrTdNsHo/clip_image002%5B11%5D_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" border="0" width="160" height="70" /></a></p> <p>which is that which we were searching.</p>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-87949374400889842372009-01-10T11:15:00.000-08:002009-07-31T07:23:03.062-07:00Deducción de la Ecuación de Euler-Lagrange con técnicas del Cálculo Elemental, basado en “Deriving Lagrange’s Equation Using Elementary Calculus” por Josef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja.<p style="text-align: center" class="MsoNormal" align="center"> </p> <p style="text-align: center" class="MsoNormal" align="center"><span style="font-family: comic sans ms">René Gastelumendi Dargent</span></p> <p style="text-align: center" class="MsoNormal" align="center"></p> <p><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p></p> <p style="text-align: center" class="MsoNormal" align="center"><span><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más importantes de la Física. </span></span></span></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p style="text-align: center" class="MsoNormal" align="center"><span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2AwZXGrVI/AAAAAAAAAKc/i0AwBYRg7mI/s1600-h/clip_image002%5B4%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image002" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2AxXpjp-I/AAAAAAAAAKg/SprucPGjEKY/clip_image002_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="381" height="161" shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029" /></span></span></a></span><span> </span></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Lagrange y Euler fueron dos matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia, que utilizando sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las fórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación variacional</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn1" name="_ednref1"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[1]</span></span></span></span></span></span></a></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2AyT3SvBI/AAAAAAAAAKk/0C7sfNG0eLc/s1600-h/clip_image003%5B5%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img border="0" alt="clip_image003" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Az1ndx4I/AAAAAAAAAKo/Kyd6J8sW0eI/clip_image003_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="196" height="199" shapes="_x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1076 _x0000_s1078 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083" /></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">El ejemplo clásico es el de la Braquistócrona</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn2" name="_ednref2"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[2]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> o la curva de descenso más rápido, problema originalmente expuesto al público por Johannes Bernoulli en 1686 y que se enuncia de la siguiente manera: dentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizará una cuenta, para que, partiendo del punto <i>a</i> llegue al punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto <i>a</i>)<i>, </i>en el menor tiempo (Fig. 1).</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">“Arte diabólico es…” puede decir uno parafraseando a Quevedo, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres endiablados matemáticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A0xSUbYI/AAAAAAAAAKs/Rp7r1op5MJc/s1600-h/clip_image005%5B3%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image005" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A2K1q0eI/AAAAAAAAAKw/eQKF-AD-e3U/clip_image005_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="166" height="74" shapes="_x0000_s1084" /></span></span></a></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">en donde g es la aceleración de la gravedad.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Sin embargo esta solución no era general por lo que el establecimiento de una teoría que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella. Su método se basó en la utilización de la ecuación que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en estas páginas.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">El primero utilizó un enfoque analítico</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn3" name="_ednref3"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[3]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> y su procedimiento desborda al Cálculo tradicional.</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn4" name="_ednref4"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[4]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Para su hallazgo -¡realizado a los 19 años de edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn5" name="_ednref5"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[5]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> y en su invención, el Cálculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo, empleó una visualización geométrica (ver su propio diagrama en la figura 2) y utilizó el análisis infinitesimal.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">El carácter explícito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didáctica. </span></span></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Brevemente, su programa consiste en:</span></span></p> <p style="text-align: justify; text-indent: -18pt; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt" class="MsoNormal"><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa78caTR5oI/AAAAAAAAAWU/CJlofyKNQ_s/s1600-h/clip_image0075.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa78caTR5oI/AAAAAAAAAWU/CJlofyKNQ_s/s1600-h/clip_image0075.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image007" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A4TZDDeI/AAAAAAAAATc/j__9m2XGAl8/clip_image007_thumb%5B4%5D.gif?imgmax=800" width="351" height="184" shapes="_x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088" /></a><span><span style="font-family: comic sans ms"></span></span></p> <p style="text-align: justify; text-indent: -18pt; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt" class="MsoNormal"><span><span style="font-family: comic sans ms"></span></span></p> <ol> <li> <div style="text-align: justify; text-indent: -18pt; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Dividir a la curva a-z en intervalos finitos,<sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A5blXygI/AAAAAAAAAK8/B9v_Ux2zAho/s1600-h/clip_image009%5B6%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image009" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A6Udkm4I/AAAAAAAAALA/Z3BhLTc1XF0/clip_image009_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="43" height="39" shapes="_x0000_i1026" /></a></sub>, <br />(Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para minimizar su resistencia al agua.</span></span></div> </li> <li> <div style="text-align: justify; text-indent: -18pt; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.</span></span></div> </li> <li> <div style="text-align: justify; text-indent: -18pt; margin: 0cm 0cm 6pt 36pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce una <i>variación</i> en la ordenada (de N-<i>n</i> a N-<i>v</i>). </span></span></div> </li> </ol> <p style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">El ejemplo de la Braquistócrona nos ayudará a entender lo que significa una “variación”. Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la distancia en el menor tiempo. Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que puede “decidirse” por otros. A las rutas alternas que se diferencian infinitesimalmente de la que por hipótesis es la correcta, se les llama <i>variaciones.</i> Euler tomó una y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuación, compara los trayectos para finalmente descubrir su fórmula.</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn6" name="_ednref6"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[6]</span></span></span></span></span></span></a></p> <p style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Cálculo de Variaciones</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn7" name="_ednref7"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[7]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">:</span></span></p> <ul style="margin-top: 0cm" type="disc"> <li style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: georgia"><span style="font-family: comic sans ms">Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a <sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A7ST2LZI/AAAAAAAAALE/QvmOXLJ1a70/s1600-h/clip_image011%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image011" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A8hg188I/AAAAAAAAALI/4nm-7Wq7-TQ/clip_image011_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="57" height="45" shapes="_x0000_i1027" /></a></sub>por lo que se puede tomar como nula.</span> </span></li> <li style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: georgia"><span style="font-family: comic sans ms">Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o mínima), entonces cualquier segmento tendrá las mismas características, es decir, será extremo también.</span> </span></li> </ul> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Supongamos que necesitamos estimar el valor de <i>f(x)</i> en un punto cercano a <sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A93A5gRI/AAAAAAAAALM/24352S-dSMQ/s1600-h/clip_image013%5B6%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image013" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A-2ZsEgI/AAAAAAAAALQ/Rh3uLrC1dWc/clip_image013_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="39" height="44" shapes="_x0000_i1028" /></a></sub>, y utilizamos la aproximación cuadrática, </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 70.8pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span><sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2A_zMAONI/AAAAAAAAAPc/igIbIAwymBI/s1600-h/clip_image015%5B5%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image015" align="left" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BBG7He5I/AAAAAAAAAPg/aSwWS2Q04EU/clip_image015_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="333" height="77" shapes="_x0000_i1029" /></span></span></a></sub></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> <br />Supongamos, además, que <sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BCBPz-LI/AAAAAAAAALc/a-k1aT7FvKg/s1600-h/clip_image013%5B7%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image013" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BDfP3JJI/AAAAAAAAALg/xwRB76w4TA4/clip_image013_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="39" height="44" shapes="_x0000_i1030" /></a></sub><span> </span>está situada en un extremo. Entonces, y por la razón de que <sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BEJ5jv1I/AAAAAAAAALk/0jdnfiNb4Yw/s1600-h/clip_image018%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image018" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BFQR1NWI/AAAAAAAAALo/MQCd0u-DZnw/clip_image018_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="73" height="63" shapes="_x0000_i1031" /></a></sub>es cero en ese punto, la expresión anterior puede escribirse así, </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 70.8pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BGFWwUUI/AAAAAAAAALs/jTgHPddJpuA/s1600-h/clip_image020%5B5%5D.gif"><img border="0" alt="clip_image020" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BHKxQ2pI/AAAAAAAAALw/-aHpXuidw84/clip_image020_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="206" height="44" shapes="_x0000_i1032" /></a></sub>,</p> <p style="text-align: center; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal">___________________________________________________</p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: bookman old style; color: rgb(255,0,0)"><span style="font-family: georgia">La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es el estudio entre un mínimo y su entorno, pero en este caso el mínimo no es de un punto en la curva; es más bien una función integral que describe un trayecto. <br />Para estudiar dicha diferencia infinitesimal:</span></span></p> <ul> <li> <div style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: bookman old style; color: rgb(255,0,0)"><span style="font-family: georgia">Se asume una ruta mínima "correcta" que existe dentro de una familia de rutas.</span></span></div> </li> <li> <div style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: bookman old style; color: rgb(255,0,0)"><span style="font-family: georgia">Se compara la "correcta" con otra apenas alejada de ella.</span></span></div> </li> <li> <div style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: bookman old style; color: rgb(255,0,0)"><span style="font-family: georgia">Por ser la "correcta" un trayecto mínimo, cualquier diferencia con respecto a ella, es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y, por lo tanto, despreciable.</span></span></div> </li> </ul> <p style="text-align: center; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal">___________________________________________________ <br /></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">donde vemos claramente que la diferencia entre</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BKXi_LbI/AAAAAAAAAL8/YOWnJ76REio/s1600-h/clip_image023%5B3%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image023" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BLVfaQjI/AAAAAAAAAMA/cgJbZRCj-Ro/clip_image023_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="112" height="44" shapes="_x0000_i1033" /></span></span></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> es <sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BMdK8kRI/AAAAAAAAAME/0wYcQ-ceDVo/s1600-h/clip_image025%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image025" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BNW5GJQI/AAAAAAAAAMI/FJpQAXrOw98/clip_image025_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="127" height="64" shapes="_x0000_i1034" /></a></sub>, y depende de un infinitésimo al cuadrado, <sub><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image027" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BPR_iWNI/AAAAAAAAAMQ/7TQzb18oDUE/clip_image027_thumb%5B5%5D.gif?imgmax=800" width="60" height="44" shapes="_x0000_i1035" /></sub>y por lo tanto es nula. <sub></sub></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span><span style="font-family: comic sans ms"></span><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Ahora bien, teniendo este importantísimo punto clarificado, nos referiremos al gráfico de la figura 2, en particular a la variación <i>v,</i> que Euler imprime a la curva a-z, que es de segundo orden y por lo tanto su diferencia con el segmento <i>m-o</i>, es, en la práctica, nula. En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales”</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn8" name="_ednref8"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[8]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">; con mayor razón si la diferencia es un infinitésimo al cuadrado</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn9" name="_ednref9"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[9]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar <i>la</i> <i>función mínima</i> dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la función <i>f(x) </i>(un tema del Cálculo)<i> </i>no es lo mismo a<i> </i>buscar aquella función <i>y = f(x)</i> que haga que la integral <sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BQdBsoHI/AAAAAAAAAMU/qgR6uZEKcg4/s1600-h/clip_image029%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image029" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BRhcHswI/AAAAAAAAAMY/2mJKAjfezdU/clip_image029_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="100" height="71" shapes="_x0000_i1036" /></a></sub><span> </span>sea un extremo (un tema del Cálculo de Variaciones).</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><span>En </span>la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión depende de <i>y</i>, <i>y’</i>, y en muchos casos, de <i>x</i> también, por que los problemas variacionales se generalizan con una función <i>F</i> de tres variables, </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><i><span style="font-family: comic sans ms; font-weight: bold"><span style="font-family: georgia">F = F ( y, y’, x) </span></span></i></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">y la integral definida:<span style="font-family: comic sans ms"><span> <sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BUI6pH8I/AAAAAAAAAMk/87-ynsPT1zA/s1600-h/clip_image032%5B6%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image032" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BVKWPFHI/AAAAAAAAAMo/HwsOe9gg_zQ/clip_image032_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="136" height="71" shapes="_x0000_i1037" /></a></sub> </span></span></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">que se busca minimizar.</span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BSZbvmXI/AAAAAAAAAWY/vi2Qlqa8raU/s1600-h/clip_image0305.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a></span></p> <p style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span><span style="font-family: georgia">Retomando</span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BSZbvmXI/AAAAAAAAAWY/vi2Qlqa8raU/s1600-h/clip_image0305.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BSZbvmXI/AAAAAAAAAWY/vi2Qlqa8raU/s1600-h/clip_image0305.gif"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image030" align="right" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BTDDDwqI/AAAAAAAAATw/pNR1j3CF_0E/clip_image030_thumb%5B4%5D.gif?imgmax=800" width="216" height="248" shapes="_x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048" /></span></a><span style="font-family: georgia"> los </span></span><span style="font-family: georgia">pasos de Euler,</span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BSZbvmXI/AAAAAAAAAWY/vi2Qlqa8raU/s1600-h/clip_image0305.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a></span></p> <ul style="margin-top: 0cm" type="disc"> <li style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"> <div align="left"><span style="font-family: georgia"><span style="font-family: comic sans ms"><i>Primero</i> dividimos la curva <i>a-z</i> (Fig. 2) en intervalos finitos<sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BV7trLmI/AAAAAAAAAMs/bEd7YpXF__I/s1600-h/clip_image009%5B7%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image009" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BW0LKz4I/AAAAAAAAAMw/3wFOcnqEZOs/clip_image009_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="43" height="39" shapes="_x0000_i1038" /></a></sub>y escogemos dos puntos cualesquiera, <i>k, k+1.</i> Por que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva <i>a-z</i>, siempre estaremos en una segmento extremo.</span> </span></div> </li> <li style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: georgia"><span style="font-family: comic sans ms"><i>Segundo</i>, reemplazamos la integral a ser minimizada por una suma:</span> </span></li> </ul> <p style="text-align: justify; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BX-jgARI/AAAAAAAAAM0/NANEDj-82B8/s1600-h/clip_image032%5B7%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image032" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BY8hiNsI/AAAAAAAAAM4/0yTBPOX3T3o/clip_image032_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="136" height="71" shapes="_x0000_i1039" /></span></span></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><span> </span><sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BZiNUAXI/AAAAAAAAAM8/ZtyX7MOF4ts/s1600-h/clip_image034%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image034" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Ba8sqMlI/AAAAAAAAANA/CrrHyRFG95Q/clip_image034_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="40" height="36" shapes="_x0000_i1040" /></a></sub><span> </span><sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BcCiYGzI/AAAAAAAAANE/gL8OQqIsYTs/s1600-h/clip_image036%5B9%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image036" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BdhOFjqI/AAAAAAAAANI/w-NVvlMPc94/clip_image036_thumb%5B7%5D.gif?imgmax=800" width="152" height="68" shapes="_x0000_i1041" /></a></sub>.</span></span></p> <ul style="margin-top: 0cm" type="disc"> <li style="text-align: justify; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: georgia"><span style="font-family: comic sans ms"><i>Tercero</i>, evaluamos la suma en k y k+1 justo donde está la variación <i>v, </i>para formar los elementos L<sub>k</sub> y L<sub>k+1</sub> siendo,</span> </span></li> </ul> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BeblSTqI/AAAAAAAAAWg/C1kmg8k9lt4/s1600-h/clip_image0385.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BeblSTqI/AAAAAAAAAWg/C1kmg8k9lt4/s1600-h/clip_image0385.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image038" align="left" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BfBr3a6I/AAAAAAAAAP4/JasZiXtxZxA/clip_image038_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="169" height="52" shapes="_x0000_i1042" /></a> <br /></sub></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">y,</span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bf8iNtDI/AAAAAAAAAWo/_G0LNBs-fdQ/s1600-h/clip_image0404.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span></span><span style="font-family: georgia">.<sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bf8iNtDI/AAAAAAAAAWo/_G0LNBs-fdQ/s1600-h/clip_image0404.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bf8iNtDI/AAAAAAAAAWo/_G0LNBs-fdQ/s1600-h/clip_image0404.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image040" align="left" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BhVTh_-I/AAAAAAAAAQA/2uMiA56qd2A/clip_image040_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="207" height="44" shapes="_x0000_i1043" /></a></sub></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /> <br /><span style="font-family: georgia">Estas son las funciones cuya estructura trataremos de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada ‘<i>y’</i> en una cantidad infinitesimal de segundo orden. Para esto, derivamos L<sub>k</sub> con respecto a y<sub>k</sub>,</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BiOTd5OI/AAAAAAAAANc/0nAHukw_2bQ/s1600-h/clip_image042%5B4%5D.gif"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image042" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BjOjwL9I/AAAAAAAAANg/9LX19Wl_h1c/clip_image042_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="247" height="70" shapes="_x0000_i1044" /></span></span></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><span> </span>= <sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bj2WXINI/AAAAAAAAAUQ/MrEqBD7eHCI/s1600-h/clip_image044%5B1%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image044" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bk-NshkI/AAAAAAAAAUc/PLVwKx6WZVM/clip_image044_thumb.gif?imgmax=800" width="258" height="73" shapes="_x0000_i1045" /></a></sub></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span></span><span style="font-family: georgia">Arreglando términos,</span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BlvCt8WI/AAAAAAAAAWs/-RgFX8Ty8dM/s1600-h/clip_image0464.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BlvCt8WI/AAAAAAAAAWs/-RgFX8Ty8dM/s1600-h/clip_image0464.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image046" align="left" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BmjE6bzI/AAAAAAAAAQY/1iEs1bBs1oo/clip_image046_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="198" height="71" shapes="_x0000_i1046" /></a> <br /> <br /> <br /></sub></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal" align="left"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">o, lo que es lo mismo, </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BnaYZGRI/AAAAAAAAAW4/LlgKMnX8V4M/s1600-h/clip_image0484.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image048" align="left" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BoN9gONI/AAAAAAAAAQk/mtplEEjNTi8/clip_image048_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="171" height="67" shapes="_x0000_i1047" /></a><span style="font-family: comic sans ms"> <br /> <br /> <br /><span style="font-family: georgia"> <br />por la razón de que</span></span><span style="font-family: comic sans ms"><sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bqn4P_tI/AAAAAAAAAQ8/ZKt-trZF9p0/s1600-h/clip_image052%5B5%5D.gif"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image052" align="right" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BrcpywqI/AAAAAAAAARI/eAEp60A3JfA/clip_image052_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="83" height="67" shapes="_x0000_i1049" /></span></a></sub></span><span style="font-family: comic sans ms"><sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bo5_FYRI/AAAAAAAAAQo/YzNS-Cs0zLY/s1600-h/clip_image050%5B4%5D.gif"><span style="font-family: georgia"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image050" align="left" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bp8EhqDI/AAAAAAAAAQs/BqLzERM5cIY/clip_image050_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="69" height="64" shapes="_x0000_i1048" /></span></a></sub></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">y </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Operando de la misma manera con L<sub>k+1</sub> y teniendo en cuenta que la pendiente <sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BsAc1OUI/AAAAAAAAAOM/Fgtb3w9mIhA/s1600-h/clip_image054%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image054" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BtD9ltCI/AAAAAAAAAOQ/UolgFPvrbLQ/clip_image054_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="84" height="61" shapes="_x0000_i1050" /></a></sub><span> </span>del segmento <i>v-o</i> es negativa, obtenemos</span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BtyWGnZI/AAAAAAAAAW8/QKIyVpyeY9Y/s1600-h/clip_image0564.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BtyWGnZI/AAAAAAAAAW8/QKIyVpyeY9Y/s1600-h/clip_image0564.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image056" align="left" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BvERq6FI/AAAAAAAAARQ/VcQOPrzkL-E/clip_image056_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="201" height="68" shapes="_x0000_i1051" /></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"><span> </span>.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Como buscamos el comportamiento de todo el segmento <i>m-o</i>, sumamos <sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2Bv5cvWeI/AAAAAAAAAOc/iEEmhsh3mTg/s1600-h/clip_image058%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image058" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BwzcZ0SI/AAAAAAAAAOg/uNMa6bS2TFQ/clip_image058_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="52" height="67" shapes="_x0000_i1052" /></a></sub> con <sub><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BxfiH-SI/AAAAAAAAAOk/nQHNpVOfXmA/s1600-h/clip_image060%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image060" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2ByiO3aII/AAAAAAAAAOo/3TBwNqzPrhs/clip_image060_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="61" height="68" shapes="_x0000_i1053" /></a></sub>y, para encontrar la diferencia mínima, igualamos a cero: </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BzWt1bLI/AAAAAAAAAXI/I1ePGsH7MbE/s1600-h/clip_image0625.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2BzWt1bLI/AAAAAAAAAXI/I1ePGsH7MbE/s1600-h/clip_image0625.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image062" align="left" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B0OP72XI/AAAAAAAAARo/Ss0ioyn_RwQ/clip_image062_thumb%5B3%5D.gif?imgmax=800" width="427" height="74" shapes="_x0000_i1054" /></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">. </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta que <sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B1KfCmrI/AAAAAAAAAO0/XWy3HwyEm88/s1600-h/clip_image064%5B3%5D.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image064" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B16eLBAI/AAAAAAAAAO4/R8eXLMX4Dvs/clip_image064_thumb%5B1%5D.gif?imgmax=800" width="115" height="44" shapes="_x0000_i1055" /></a></sub>, </span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">obtenemos </span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 70.8pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B2inZRGI/AAAAAAAAAXM/yLHBhYMSGIg/s1600-h/clip_image0664.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B2inZRGI/AAAAAAAAAXM/yLHBhYMSGIg/s1600-h/clip_image0664.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image066" align="left" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B3Q1M0qI/AAAAAAAAARw/MV-j6TNLoTg/clip_image066_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="201" height="71" shapes="_x0000_i1056" /></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">.</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos</span></span><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_edn10" name="_ednref10"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[10]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">, finalmente escribimos la última expresión como</span></span></p> <p style="text-indent: 35.4pt; margin: 0cm 0cm 6pt 106.2pt" class="MsoNormal"><sub><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B4DsG1oI/AAAAAAAAAXY/Q-eIyTGFm-A/s1600-h/clip_image0684.gif"><span style="font-family: comic sans ms"></span></a><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B4DsG1oI/AAAAAAAAAXY/Q-eIyTGFm-A/s1600-h/clip_image0684.gif"><img style="border-right-width: 0px; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" border="0" alt="clip_image068" align="left" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/Sa2B42-LgqI/AAAAAAAAASI/tVTp1lmBn-c/clip_image068_thumb%5B2%5D.gif?imgmax=800" width="140" height="68" shapes="_x0000_i1057" /></a></sub><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">,</span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"> <br /></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"></span></span></p> <p style="margin-bottom: 6pt" class="MsoNormal"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">que no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange, deducida con conceptos del Cálculo elemental. <br /></span></span></p> <hr align="left" size="1" width="33%" /> <p></p> <div> <div id="edn1"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref1" name="_edn1"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-size: 78%"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-size: 85%"><span style="font-family: georgia">[<span style="font-size: 85%">1]</span></span></span></span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> A diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula.</span></span></p> </div> <div id="edn2"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref2" name="_edn2"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[2]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> De las raíces griegas “brachistos”, más corto y “cronos”, tiempo.</span></span></p> </div> <div id="edn3"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref3" name="_edn3"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[3]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”.</span></span></p> </div> <div id="edn4"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref4" name="_edn4"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[4]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Es el que usualmente utilizan los autores de libros de Mecánica.</span></span></p> </div> <div id="edn5"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref5" name="_edn5"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[5]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv<sup>2 </sup>-el doble de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción. </span></span></p> </div> <div id="edn6"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref6" name="_edn6"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[6]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Ver Cornelius Lanczos - “The Variational Principles of Mechanics”, para una breve exposición de la deducción de Euler.</span></span></p> </div> <div id="edn7"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref7" name="_edn7"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[7]</span></span></span></span></span></span></a><span lang="EN-US"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”. </span></span></span></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> </div> <div id="edn8"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref8" name="_edn8"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[8]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> Citado en la p 241 de “The Mathematical Experience” de Hersh y Davis, primera edición.</span></span></p> </div> <div id="edn9"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref9" name="_edn9"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[9]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> En efecto, el moderno Análisis Infinitesimal, el cual se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado “nilpotente” y se define como idéntico a cero.</span></span></p> </div> <div id="edn10"> <p class="MsoEndnoteText"><a title="" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=8794937440088984237#_ednref10" name="_edn10"><span class="MsoEndnoteReference"><span><span class="MsoEndnoteReference"><span times="?Times" new="New"><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia">[10]</span></span></span></span></span></span></a><span style="font-family: comic sans ms"><span style="font-family: georgia"> El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en <i>v </i>del segmento <i>m-o</i></span></span></p> </div> </div> René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-70965405861761223842009-01-05T10:54:00.000-08:002009-03-11T15:44:16.891-07:00Problema de los Cuatro Insectos (Four bug problem)<p> </p> <p style="font-family:comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;">El Problema: Cuatro puntos situados en los vértices de un cuadrado parten, en sentido horario, a la misma velocidad, en persecución del punto siguiente. ¿Qué forma tiene la curva que crea un punto durante su desplazamiento? </span></p> <p style="font-family:comic sans ms;"><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZsKAkIiI/AAAAAAAAAH0/-zoigiIWuSI/s1600-h/clip_image0027.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img alt="clip_image002" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZsvKPEdI/AAAAAAAAAH4/SruXzej8OHY/clip_image002_thumb4.gif?imgmax=800" width="216" height="217" /></span></a><span style="font-family:Georgia;"> </span></p> <p style="font-family:comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;">Enfoque y solución </span></p> <ol style="font-family:comic sans ms;"> <li><span style="font-family:Georgia;">La línea tangente a cualquier punto <i>x,y</i> sobre <i>f(x)</i> señala hacia un punto en <i>f(x)</i> <sub>rot</sub><sup> </sup>en donde la tangente tiene el mismo valor que el punto de partida y por lo tanto, </span></li> <li><span style="font-family:Georgia;">La intersección de esa tangente en cualquier punto con el eje “x” o con x<sub>rot </sub>es la misma para <i>f(x) y f(x)</i><sub>rot</sub>. </span></li> <li><span style="font-family:Georgia;">Son estos dos “invariantes”, la igualdad de las tangentes y la de las intersecciones con “x” los que nos permitirán establecer la forma de <i>f(x).</i> </span></li> <li><span style="font-family:Georgia;">Ahora escribimos la ecuación de la curva de la tangente del punto (1), arriba. <br />Para el eje no rotado : <br /></span><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZtJ3h0XI/AAAAAAAAAH8/QYMdfH9o6bM/s1600-h/clip_image0044.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image004" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZtQCh5ZI/AAAAAAAAAIA/LHGR20Scx64/clip_image004_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="143" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;"> <br /> <br />Para el eje rotado 90°: <br /></span><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZtzmWquI/AAAAAAAAAIE/5kAaaO4u-nI/s1600-h/clip_image0064.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image006" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZuXPxkBI/AAAAAAAAAII/O8t0aZ36o_4/clip_image006_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="148" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;"> <br />...teniendo en cuenta que el resultado de la rotación es como sigue: x =rot 90° => -y; y = rot 90°=>x. <br /> <br /></span></li> <li><span style="font-family:Georgia;">Las ecuaciones (1) y (2) se pueden re-escribir: <br /></span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZuvaNW8I/AAAAAAAAAIM/nvI7RdpW2Jw/s1600-h/clip_image0104.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image010" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZvEDbjUI/AAAAAAAAAIQ/ZDO5JhfHQGs/clip_image010_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="147" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;"> <br /></span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZvml8MwI/AAAAAAAAAIU/9_CNHs_gtv8/s1600-h/clip_image0144.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image014" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZv09_bpI/AAAAAAAAAIY/VVDTXsCcMtI/clip_image014_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="159" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;"> </span></li> <li><span style="font-family:Georgia;">Por lo enunciado en el punto 2, <i>ma</i> = <i>ma</i><sub>rot</sub>, por lo que igualamos (1’) y (2’) para obtener</span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZwSJtsiI/AAAAAAAAAIc/gd7gTAFqGaM/s1600-h/clip_image0164.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image016" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZwkAAuUI/AAAAAAAAAIg/x9wGt55TyZU/clip_image016_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="140" height="37" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. Luego de re arreglar y juntar términos nos quedamos con </span><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZxMBo5XI/AAAAAAAAAIk/mkXgOT1RRCc/s1600-h/clip_image0184.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image018" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZxpOut9I/AAAAAAAAAIo/2taeUu_ye44/clip_image018_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="141" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">, y, como <i>m = dy/dx</i>, despejando las diferenciales obtenemos, finalmente </span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZxwh8DhI/AAAAAAAAAIs/IFa0SDPOMRE/s1600-h/clip_image0204.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image020" src="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZyRgcYCI/AAAAAAAAAIw/J0UBZ1Ak86A/clip_image020_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="165" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. </span></li> </ol> <p style="font-family:comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;">Esta es una ecuación diferencial de primer orden con factor de integración </span><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZy7L5xnI/AAAAAAAAAI0/lgN6gd8yYNA/s1600-h/clip_image0228.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image022" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZzHIrmGI/AAAAAAAAAI4/_Z1Bz4e5Qto/clip_image022_thumb5.gif?imgmax=800" border="0" width="79" height="65" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. <br />Su solución</span><a href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=7096540586176122384#_ftn1_2440"><span style="font-family:Georgia;">[1]</span></a><span style="font-family:Georgia;"> es </span><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZzgJmt9I/AAAAAAAAAI8/xngbDr1JhCo/s1600-h/clip_image0244.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image024" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ0NFeA7I/AAAAAAAAAJA/ZXeoDSminho/clip_image024_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="205" height="61" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. Expresándola en coordenadas polares obtenemos </span><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ0oM-0AI/AAAAAAAAAJE/yJ4AyfBYzdM/s1600-h/clip_image0264.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image026" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ1G3-zUI/AAAAAAAAAJI/zDJiPICh6ms/clip_image026_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="116" height="61" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">, que equivale a </span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ1QxiwaI/AAAAAAAAAJM/da_3auKaqJk/s1600-h/clip_image0284.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image028" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ1274rgI/AAAAAAAAAJQ/vpu1bKIgSYg/clip_image028_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="72" height="44" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">, o lo que es lo mismo, </span><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ2TerpdI/AAAAAAAAAJU/6UeCNNLtJb8/s1600-h/clip_image0304.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image030" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ2n7OGII/AAAAAAAAAJY/bcKsuAsEPl4/clip_image030_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="65" height="65" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. Puesto que </span><a href="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ24pgqlI/AAAAAAAAAJc/6e7iJTcEwyU/s1600-h/clip_image0324.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image032" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ3Xh6IrI/AAAAAAAAAJg/A-hq6LRmZCQ/clip_image032_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="37" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">es una constante, re escribimos la solución </span><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ3qu6_HI/AAAAAAAAAJk/TWypsU-lpJo/s1600-h/clip_image0346.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image034" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ4Onq9eI/AAAAAAAAAJo/c3PxG__PRZI/clip_image034_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="65" height="61" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. </span></p> <p style="font-family:comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;"><b>Determinación de k.</b> </span></p> <p face="comic sans ms"><a href="http://lh4.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ4YWM2-I/AAAAAAAAAJs/4utrGpv-_hk/s1600-h/clip_image0364.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image036" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ458blSI/AAAAAAAAAJw/S1XA5MNT29M/clip_image036_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="164" height="170" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">Tomemos el centro del cuadrado de lado b como polo y fijémonos que en </span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ5FZKKZI/AAAAAAAAAJ0/AYZHFSM7EWg/s1600-h/clip_image03413.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image034[1]" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ6FUL93I/AAAAAAAAAJ4/DAxDbXuRBwI/clip_image0341_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="65" height="61" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">, cuando </span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ6gBcLoI/AAAAAAAAAJ8/uIa-FcTYtf0/s1600-h/clip_image0384.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image038" src="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ6-zJUbI/AAAAAAAAAKA/9KAkZayKj2E/clip_image038_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="57" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">, </span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ7Q31nrI/AAAAAAAAAKE/G1pbYOGG3vI/s1600-h/clip_image0404.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image040" src="http://lh6.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ7qEpaRI/AAAAAAAAAKI/vFteZA2aEkw/clip_image040_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="56" height="41" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. Ahora calculamos <i>r</i>. Del triángulo en el dibujo se desprende que <i>r</i>, la hipotenusa, es igual a </span><a href="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ8Fy-BsI/AAAAAAAAAKM/iC50nsxoIRM/s1600-h/clip_image0424.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image042" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ8slQlmI/AAAAAAAAAKQ/PTzdNZFpQTM/clip_image042_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="229" height="65" /></span></a><span style="font-family:Georgia;">. </span></p> <p face="comic sans ms"><span style="font-family:Georgia;">La expresión final para la solución buscada, es decir la forma de la curva es: </span></p> <p face="comic sans ms"><a href="http://lh3.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ9CDEMGI/AAAAAAAAAKU/cmiVCXq-lDo/s1600-h/clip_image0444.gif"><span style="font-family:Georgia;"><img style="border-width: 0px;" alt="clip_image044" src="http://lh5.ggpht.com/_wLLb9Nt3lMY/SarZ9V5VQ-I/AAAAAAAAAKY/9V3LJE94TNs/clip_image044_thumb1.gif?imgmax=800" border="0" width="93" height="66" /></span></a><span style="font-family:Georgia;"> </span></p> <p style="font-family: comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;">René F. Gastelumendi Dargent </span></p> <p style="font-family: comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;">20 de Octubre de 2004 </span></p> <p style="font-family: comic sans ms;"><span style="font-family:Georgia;"> </span></p> <hr style="font-family: comic sans ms; height: 3px;" align="left" size="1" width="33%"> <p><a style="font-family: comic sans ms;" href="http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=36820744&postID=7096540586176122384#_ftnref1_2440"><span style="font-family:Georgia;">[1]</span></a><span style="font-family:Georgia;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-size:85%;"><span style="font-family:comic sans ms;"> Ecuaciones Diferenciales, Murray Spiegel, p 48, problema (d). Edición española de 1965. </span> </span> <br /> <br /> <br /></span> <br /> <br /> <br /> <br /></span></p>René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-36820744.post-1162183517228742032009-01-01T20:38:00.000-08:002009-03-11T15:43:58.712-07:00La increíble BraquistócronaEl otro día me encontraba leyendo un libro de matemáticas y mi amigo Manolo me preguntó qué es lo que hacía y le contesté: me estoy preparando para entender un tema de Física en donde se requiere encontrar cuan grande o cuan pequeño se pueden tornar unos valores: problemas de funciones que toman valores máximos o mínimos.<br /><br />Obviamente, por no estar en mi contexto mental, no captó lo que quería decirle así que para nivelarnos le relaté la historia de la reina Dido, la fundadora de Cartago. Le conté que Dido, después del asesinato de su esposo en manos de Pigmalión, hermano de ella, huyó a la costa norte de Africa donde compró al rey Yarbas un trozo de tierra para construir Cartago. ¿Cuanta tierra adquirió para fundar la ciudad? Aquí radica la primera historia práctica de máximos y mínimos. Durante el trato de compraventa, el déspota Yarbas, con el dinero en su poder tiró a los pies de Dido una piel de toro y le dijo: “Tu territorio será del tamaño de toda la tierra que encierra este pellejo”. Ella se sintió impotente, y decepcionada y llena de frustración se retiró a su tienda. Caviló durante todo el día la manera de salir de este aprieto y resarcirse de tremendo abuso. En la noche no pudo conciliar el sueño, pero durante la duermevela se le ocurrió una idea para salir del aprieto y vengarse del abuso.<br /><br />Mucho antes del amanecer cogió la piel y empezó ha hacer de ella tiras tan delgadas que cuando las unió tenía una cuerda de varios kilómetros de longitud. Esta la dispuso en el desierto en forma de círculo y circunscribió un área que consideró apropiada para la fundación de su ciudad. Cuando Yarbas se dio cuenta de lo que Dido hizo con el pedazo de pellejo que le había entregado sólo le quedó reconocer su derrota y no intervino más. (La leyenda cuenta que al menos así fue durante un tiempo porque después quiso obligarla a casarse con él, pero ella se suicidó antes de que la tocara.) Así nació Cartago.<br /><br />Nos preguntamos: ¿que hubiese pasado si hubiese dispuesto la soga en otra forma que no sea un círculo, digamos en forma de un cuadrado? El resultado daría un territorio menor que aquel inscrito dentro del círculo. Dido se enfrentó a un problema de máximos y lo resolvió sin hacer uso de las matemáticas y sólo con su intuición: ¿Cuál es la mayor área que puedo inscribir en el perímetro que me da esta cuerda de pellejo? Pues el círculo.<br />Y así acaba esta historia. Claro, es una leyenda pero…<br /><br />Al terminar mi relato le dije a Manolo, oye, me has tocado un botoncito que si no lo vuelves a pulsar voy a seguir hablando de este tema, y él me contestó: sigue, que si me aburro ya sé donde apretar. Entonces le conté la más famosa historia de Máximos y Mínimos. Le advertí nomás que iba a escuchar un par de nombres de lo más extraños. Y así comencé a contarle de la curva Braquistócrona que a la vez es una Tautócrocrona y de su relación con la Cicloide.<br /><br />Muchas centurias después del suceso de Dido, en el siglo XVII, se presentó, como te dije, el caso más connotado de Máximos y Mínimos. Era la época de la ebullición de las matemáticas en parte gracias al la herencia de Descartes y al descubrimiento simultáneo de Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania del Cálculo (en otro momento, si deseas, veremos de que trata esta rama de las matemáticas, pero te adelanto que constituye uno de los más grandes logros del genio humano). El espíritu de los Mosqueteros seguía viviendo en el ámbito de escaramuzas científicas y es así que los retos también provenían de las Academias de Ciencias y Gacetas Científicas que por esa época de revolución intelectual estaban en formación. Por ejemplo, se podía anunciar en una revista: “Hoy día el matemático XYZ retará a la comunidad de sabios de Basilea proponiendo el problema de cómo calcular el ángulo que deberá tener un cañón para que su proyectil alcance la distancia máxima, después de disparado. La solución por cierto ya ha sido obtenida por el matemático XYZ de manera ingeniosa y particular pero no será dada a conocer hasta la víspera de Navidad. Los Filósofos y Matemáticos se pueden inscribir en…”<br /><br />Pues bien, en el año 1686, el famoso matemático suizo Johannes Bernoulli (1667-1748) no se quedó atrás y a través de las páginas de la gaceta “Acta Eruditorum”, en la edición de Junio de 1686 anuncia que retaba a “descubrir la forma que deberá tener un alambre por el cual se desliza sin fricción y por acción de la gravedad un objeto desde un punto A, a otro punto mas bajo B, en el menor tiempo posible”. (Fig. 1)<br />Figura 1<br /><a href="http://photos1.blogger.com/blogger/3427/4123/1600/Fig.%201.0.gif"><img style="margin: 0px 0px 10px 10px; float: right;" alt="" src="http://photos1.blogger.com/blogger/3427/4123/320/Fig.%201.0.png" border="0" /></a><br /><br />Además, el lance añadía que “… para prevenir juicios apresurados, aunque si bien es cierto que la línea recta AB (línea punteada) es efectivamente la más corta entre los puntos A y B, ella no es el camino recorrido en el menor tiempo. Sin embargo la curva AMB cuyo nombre lo daré si nadie la ha descubierto antes que finalice el año, es bien conocida por los geómetras.”<br /><br />En este momento vale que te recuerde, le dije a mi amigo, la rivalidad que existía entre Inglaterra y la Europa Continental, particularmente con Francia y Holanda. Ella estaba motivada no sólo por guerras y conquistas de ultramar si no por la conquista del conocimiento y la primacía en sus descubrimientos. Y en estos momentos las comunidades científicas a ambos lados del canal de la Mancha estaban tomando partido en el pleito entre Leibniz y Newton por la paternidad del Cálculo.<br /><br />Regresando a nuestra historia, llegado el plazo fijado por Bernoulli, 1 de Enero de 1697, la solución estaba lista para publicarse, pero el único remitente con un planteamiento válido hasta entonces había sido el mismísimo Leibniz (1646-1716), en vista de lo cual solicitó que se ampliara el plazo de entrega. Y así fue que Bernoulli anunció la prórroga con un poco de presunción diciendo que no sólo estaba de acuerdo con la “encomiable propuesta de Leibniz si no que yo mismo he decidido anunciar la extensión del plazo y por lo tanto ver quien ataca esta excelente y difícil cuestión después de tanto tiempo.” Luego, para cerciorarse de que el problema había sido bien entendido, lo volvió a enunciar añadiendo que “dentro de la infinita cantidad de curvas que unen ambos puntos, escoger aquella que si es reemplazada por un tubo delgado o un camino ranurado, donde una pequeña esfera es colocada y luego soltada, dicha esfera pasará de un punto a otro en el menor tiempo.” El problema no era fácil, le recalqué a mi amigo. Fíjate, le dije, el mismo Bernoulli se encarga de decir en el párrafo citado arriba que hay infinita cantidad de curvas que unen los puntos A y B. ¿Cómo saber cual es la adecuada para que se cumpla la condición por la propuesta, aquella del tiempo mínimo? ¿Cómo determinar la Braquistócrona? Esta palabra, Manolo, se forma con las raíces griegas “braquistos” = el más corto y “cronos” = tiempo y es así como ahora se conoce a dicha curva.<br />Bueno, descontando obviamente a Johannes Bernoulli y Leibniz, llegaron a la redacción de la Gaceta Eruditorum tres respuestas correctas adicionales: la de Sir Isaac Newton (1642-1727) de Inglaterra, Jakob Bernoulli(1654-1705)-hermano de Johannes –de Suiza- y la del Marqués de l´Hôpital de Francia.<br />Fíjate Manolo. Son dos Bernoulli los que dieron con la solución y por la tanto deseo mencionar el caso singular de que hay familias donde se transmiten genialidades y habilidades a través de generaciones consecutivas: la familia de músicos Bach es un caso y la de los matemáticos Bernoulli es otro.<br /><br />Y recordando lo de las rivalidades, le dije a mi amigo: te cuento que Newton no se enteró del problema por medio de la Gaceta si no más bien por una carta de Johannes que con el enunciado del problema le había hecho llegar a Londres, un poco por “la puerta falsa”. En particular, el lance directo de este matemático del continente a Newton tenía como motivo explícito medir la fuerza intelectual del contrincante inglés. Por ese entonces, Sir Isaac Newton de 55 años y según el mismo, con su capacidad matemática de antaño muy disminuida, trabajaba como administrador de la Casa de la Moneda en Londres. Relata su sobrina Miss Conduit, que el día en que recibió la carta de Bernoulli, Newton había llegado a su casa a eso de las cuatro de la tarde, muy cansado por encontrarse en medio del ajetreo de una nueva acuñación importante. Sin embargo trabajó hasta las cuatro de la mañana del día siguiente. “No me gusta ser molestado por extranjeros con problemas matemáticos” manifestó con algo de soberbia, al enviar, sin firmar, su respuesta a la redacción del Acta.<br /><br />Cuando Bernoulli tuvo en sus manos esta solución anónima reconoció el genio de Newton exclamando “¡ex ungue leonem!”: ¡por las uñas reconozco al león !<br />A estas alturas del relato Manolo me dijo con algo de impaciencia, “bueno, yo creo que ya es tiempo que me cuentes cual fue la solución.”<br />La solución es la curva llamada Cicloide. En realidad, una porción de la Cicloide pero invertida. Fíjate en la figura 2(Una Cicloide)<br /><a href="http://photos1.blogger.com/blogger/3427/4123/1600/Fig.%202.gif"><img style="margin: 0px 0px 10px 10px; float: right;" alt="" src="http://photos1.blogger.com/blogger/3427/4123/320/Fig.%202.png" border="0" /></a><br />En ella un círculo -piensa en una llanta con un lápiz fijo en el borde- va rodando a medida que dibuja un trazo. El trazo es la cicloide. Una porción de esa cicloide, pero invertida es la famosa Braquistócrona, tal como aparece en la Fig 1.<br />¿Cómo llegó Bernoulli a la solución? Lo hizo combinando conocimientos de dos disciplinas: La óptica<a title="" style="" href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=36820744#_ftn1" name="_ftnref1">[1]</a>, y las matemáticas. Su solución, como muchas de la época fue ad-hoc. Es decir, sólo se aplicaba a ese caso en particular. Hoy en día la solución de los problemas de Maximización y/o Minimización de funciones pertenece a la rama de matemáticas llamada Cálculo de Variaciones.<br /><br />Bueno, Manolo, antes de terminar mi relato, deseo contarte acerca de una sorprendente cualidad de la Braquistócrona. Esa cualidad, y aquí viene el otro nombre raro, es la del isocronismo o tautocronismo (“tauto” = “iso” = igual). Lo sorprendente se da al verificar que el tiempo de caída de un objeto soltado desde cualquier altura en una Braquistócrona toma el mismo tiempo en llegar al final. En otras palabras, si sueltas una cuenta desde arriba y otra desde la mitad, las dos llegan al final al mismo tiempo. Esta es una de las sorpresas contraintuitivas que nos da la Naturaleza.Pues bien Manolo, hemos terminado este relato que empezó con una pregunta inocente tuya. Ya puedes apretar mi botón.<br /><br />--------------------------------<br /><a title="" style="" href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=36820744#_ftnref1" name="_ftn1">[1]</a> De la óptica tomo la ley de refracción de la Luz de Snell (1591-1626) y el Principio de Menor Tiempo de Fermat (1601-1665). La primera se refiere a la trayectoria que sigue un rayo de luz al pasar entre medios de distintas densidades. Por ejemplo pasar del aire al vidrio y al agua si hablamos de un vaso. Una cuchara dentro del agua se verá distorsionada por los distintos caminos que toma la luz. El Principio de Fermat enuncia que la luz atraviesa distintos medios “buscando” siempre la trayectoria más corta entre ellos. Este principio tiene connotaciones filosóficas y está categorizado como un argumento teleológico: muchos fenómenos de la naturaleza se entienden mejor si se adjudica a su comportamiento un propósito o una finalidad. En el caso de la luz, su propósito será “buscar” el camino más corto. De las matemáticas utilizó el Cálculo infinitesimal.René F. Gastelumendihttp://www.blogger.com/profile/16025223255423234054noreply@blogger.com0