René Gastelumendi Dargent
Este trabajo, de carácter didáctico, va dirigido a los alumnos de Mecánica, Física y Cálculo. Su objetivo es mostrar la aplicación de las herramientas del Cálculo elemental para deducir una de las ecuaciones más importantes de la Física.
Lagrange y Euler fueron dos matemáticos eminentes que aportaron enormemente a la ciencia, que utilizando sus propios procedimientos para encontrar el extremo de una integral dedujeron una de las fórmulas más importantes de la Mecánica, base de su formulación variacional[1]
El ejemplo clásico es el de la Braquistócrona[2] o la curva de descenso más rápido, problema originalmente expuesto al público por Johannes Bernoulli en 1686 y que se enuncia de la siguiente manera: dentro de la infinita cantidad de formas que puede tener, descubrir la que debe describir una canaleta, M, por donde se deslizará una cuenta, para que, partiendo del punto a llegue al punto b, situado más abajo, (pero no debajo del punto a), en el menor tiempo (Fig. 1).
“Arte diabólico es…” puede decir uno parafraseando a Quevedo, hallar dentro de todas las formas posibles aquella que minimice el tiempo de recorrido. Sin embargo, además de J. Bernoulli, tres endiablados matemáticos encontraron la respuesta: tanto su hermano James como Newton y Leibniz. La curva determinada resultó ser una Cicloide, la cual se obtiene integrando
en donde g es la aceleración de la gravedad.
Sin embargo esta solución no era general por lo que el establecimiento de una teoría que cubra el conjunto de problemas variacionales era una necesidad; Lagrange y Euler respondieron a ella. Su método se basó en la utilización de la ecuación que lleva sus nombres, pero el camino que cada uno tomó para descubrirla no fue el mismo y de eso nos ocupamos en estas páginas.
El primero utilizó un enfoque analítico[3] y su procedimiento desborda al Cálculo tradicional.[4] Para su hallazgo -¡realizado a los 19 años de edad!- se apoyó en el Principio de Mínima Acción[5] y en su invención, el Cálculo de Variaciones. El segundo, Euler, se encuadró dentro del Cálculo, empleó una visualización geométrica (ver su propio diagrama en la figura 2) y utilizó el análisis infinitesimal.
El carácter explícito de su plan de ataque constituye una excelente herramienta didáctica.
Brevemente, su programa consiste en:
- Dividir a la curva a-z en intervalos finitos,
,
(Fig. 2). Esta curva representa, por hipótesis, un trayecto extremo. Por ejemplo, puede ser la forma que debe de tener la proa de un submarino para minimizar su resistencia al agua. - Reemplazar por una suma a la integral a ser minimizada.
- Evaluar la suma en M y N (Fig. 2) donde se produce una variación en la ordenada (de N-n a N-v).
El ejemplo de la Braquistócrona nos ayudará a entender lo que significa una “variación”. Sabemos que la cuenta, al fin y al cabo, tendrá que recorrer una ruta muy particular y única para cubrir la distancia en el menor tiempo. Pero así como toma ese camino, es posible imaginar que puede “decidirse” por otros. A las rutas alternas que se diferencian infinitesimalmente de la que por hipótesis es la correcta, se les llama variaciones. Euler tomó una y utilizando un razonamiento muy similar al que veremos a continuación, compara los trayectos para finalmente descubrir su fórmula.[6]
Para dar mayor sustento y claridad a nuestro desarrollo utilizaremos dos principios establecidos por los pioneros del Cálculo de Variaciones[7]:
- Principio 1. Cualquier variación o desvío infinitesimal alrededor de un extremo, es proporcional a
por lo que se puede tomar como nula. - Principio 2. Si una curva que representa un trayecto entre dos puntos es una curva extrema (sea máxima o mínima), entonces cualquier segmento tendrá las mismas características, es decir, será extremo también.
Es muy importante comprender el Principio 1, por lo que lo explicaremos al detalle.
Supongamos que necesitamos estimar el valor de f(x) en un punto cercano a 
, y utilizamos la aproximación cuadrática,
Supongamos, además, que 
está situada en un extremo. Entonces, y por la razón de que 
es cero en ese punto, la expresión anterior puede escribirse así,
,
___________________________________________________
La idea fundamental del Cálculo de Variaciones es el estudio entre un mínimo y su entorno, pero en este caso el mínimo no es de un punto en la curva; es más bien una función integral que describe un trayecto.
Para estudiar dicha diferencia infinitesimal:
- Se asume una ruta mínima "correcta" que existe dentro de una familia de rutas.
- Se compara la "correcta" con otra apenas alejada de ella.
- Por ser la "correcta" un trayecto mínimo, cualquier diferencia con respecto a ella, es proporcional a un infinitésimo al cuadrado y, por lo tanto, despreciable.
___________________________________________________
donde vemos claramente que la diferencia entre
es 
, y depende de un infinitésimo al cuadrado, 
y por lo tanto es nula.
Ahora bien, teniendo este importantísimo punto clarificado, nos referiremos al gráfico de la figura 2, en particular a la variación v, que Euler imprime a la curva a-z, que es de segundo orden y por lo tanto su diferencia con el segmento m-o, es, en la práctica, nula. En palabras del Marqués de L’Hôpital, “dos cantidades que difieren entre sí infinitesimalmente, pueden tomarse por iguales”[8]; con mayor razón si la diferencia es un infinitésimo al cuadrado[9].
Notemos que, contrariamente a encontrar el mínimo de una función, el tema de la Curva de Menor Tiempo consiste en hallar la función mínima dentro de un conjunto infinito de posibilidades. En otras palabras, buscar el extremo de la función f(x) (un tema del Cálculo) no es lo mismo a buscar aquella función y = f(x) que haga que la integral 
sea un extremo (un tema del Cálculo de Variaciones).
En la práctica (cf. la integral de la Braquistócrona), la expresión depende de y, y’, y en muchos casos, de x también, por que los problemas variacionales se generalizan con una función F de tres variables,
F = F ( y, y’, x)
y la integral definida: 
- Primero dividimos la curva a-z (Fig. 2) en intervalos finitos
y escogemos dos puntos cualesquiera, k, k+1. Por que han sido escogidos arbitrariamente, el Segundo Principio nos asegura que sea donde quiera que estemos sobre la curva a-z, siempre estaremos en una segmento extremo. - Segundo, reemplazamos la integral a ser minimizada por una suma:
.
- Tercero, evaluamos la suma en k y k+1 justo donde está la variación v, para formar los elementos Lk y Lk+1 siendo,
y,
Estas son las funciones cuya estructura trataremos de dilucidar cuando se alejan respecto a la ordenada ‘y’ en una cantidad infinitesimal de segundo orden. Para esto, derivamos Lk con respecto a yk,
= 
Arreglando términos,
o, lo que es lo mismo,
por la razón de que
y
Operando de la misma manera con Lk+1 y teniendo en cuenta que la pendiente 
del segmento v-o es negativa, obtenemos
Como buscamos el comportamiento de todo el segmento m-o, sumamos 
con 
y, para encontrar la diferencia mínima, igualamos a cero:
Arreglando nuevamente términos y teniendo en cuenta que 
,
obtenemos
Recordando que estamos tratando con cantidades tan cercanas como queramos[10], finalmente escribimos la última expresión como
que no es otra que la famosa Ecuación de Euler-Lagrange, deducida con conceptos del Cálculo elemental.
[1] A diferencia de la formulación vectorial de Newton que se ocupa en determinar todas las fuerzas que actúan en una partícula, la variacional o analítica se basa en la diferencia entre la Energía Cinética y la Energía Potencial de una partícula.
[2] De las raíces griegas “brachistos”, más corto y “cronos”, tiempo.
[3] Un orgullo de Lagrange fue escribir su tratado ‘Mecánica Analítica’, “sin utilizar una sola figura”.
[4] Es el que usualmente utilizan los autores de libros de Mecánica.
[5] Maupertuis, en 1746, reflexionando sobre la perfección de la Naturaleza enuncia que dicho ideal debería de incluir una “economía” en la administración de la energía y postuló su principio basado en una cantidad llamada por él, “Acción”. Para un objeto que se desplaza en un campo de fuerzas conservativas se define como el producto del tiempo, t, multiplicado por su “vis viva”, mv2 -el doble de la energía cinética. Este producto debe de ser siempre un mínimo, o tener una Mínima Acción.
[6] Ver Cornelius Lanczos - “The Variational Principles of Mechanics”, para una breve exposición de la deducción de Euler.
[7] Woodhouse – “A History of the Calculus of Variations in the Eighteenth Century”.
[8] Citado en la p 241 de “The Mathematical Experience” de Hersh y Davis, primera edición.
[9] En efecto, el moderno Análisis Infinitesimal, el cual se basa en la Teoría de las Categorías, tiene como elemento fundamental al infinitésimo. Dentro de este análisis el infinitésimo de segundo grado es llamado “nilpotente” y se define como idéntico a cero.
[10] El primer término lo podemos interpretar como el punto medio en v del segmento m-o
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