De Todo, como en Botica: Llanta cuadrada – Problema tomado a partir de Stan Wagon’s squared bicycle. Solución sin la utilización de ecuaciones diferenciales.

por René Gastelumendi Dargent

El Problema: ¿Qué forma geométrica debe de tener una pista para que permita a una llanta cuadrada rodar suavemente sobre ella?

Un Tema previo: Proporcionalidad de r con respecto a

durante la rotación de la “rueda”.

Suponiendo incrementos de una fracción de grado, , entonces, para cualquier
j ≥ 1, la nueva longitud r, del radio, estará expresada por: (1).

Ahora bien, si deseamos representar incrementos más pequeños y más frecuentes, escribimos (1) de la siguiente manera: (2),

en donde n = jm, m > 1.

Definamos, , por lo que, de tal forma que (2) queda como
en donde reconocemos que la expresión, entre corchetes, es la definición de e (cuando) y, por lo tanto, (3).

Desarrollo de la expresión para la posición del locus del radio con respecto a y.(Movimiento vertical)

Establecida la proporcionalidad, observemos en la figura que el alargamiento hacia abajo del radio, es en los valores negativos de y, razón por la cual a (3) la escribimos como:

[1] (4).

Desarrollo de la expresión para la posición del locus del radio con respecto a x.
(Movimiento horizontal).

La distancia que recorre la rueda cuadrada en dirección horizontal depende de la circunferencia del círculo que a cada instante va dibujando el extremo de r, por lo que decimos que, en donde la expresión de la derecha resulta de reemplazar con (3).

Al efectuar obtenemos que finalmente se reduce a:

(5).

Desarrollo de la expresión para el locus del radio.

Recapitulando, el movimiento está dado por la combinación de dos factores; el primero, la longitud del radio en cualquier momento y, el segundo, la distancia horizontal recorrida, , y, por lo tanto, el locus se puede describir:
(6).

Tomando en cuenta que el radio inicial es igual a la mitad del lado del cuadrado, r_o= l / 2, reemplazamos este valor en (6) para finalmente obtener:

(7)