Problema de los Cuatro Insectos (Four bug problem)

El Problema: Cuatro puntos situados en los vértices de un cuadrado parten, en sentido horario, a la misma velocidad, en persecución del punto siguiente. ¿Qué forma tiene la curva que crea un punto durante su desplazamiento?

Enfoque y solución

1. La línea tangente a cualquier punto x,y sobre f(x) señala hacia un punto en f(x) _rot en donde la tangente tiene el mismo valor que el punto de partida y por lo tanto,
2. La intersección de esa tangente en cualquier punto con el eje “x” o con x_rot es la misma para f(x) y f(x)_rot.
3. Son estos dos “invariantes”, la igualdad de las tangentes y la de las intersecciones con “x” los que nos permitirán establecer la forma de f(x).
4. Ahora escribimos la ecuación de la curva de la tangente del punto (1), arriba.
   Para el eje no rotado :
   
   
   Para el eje rotado 90°:
   
   ...teniendo en cuenta que el resultado de la rotación es como sigue: x =rot 90° => -y; y = rot 90°=>x.
   
   
5. Las ecuaciones (1) y (2) se pueden re-escribir:
   
   
6. Por lo enunciado en el punto 2, ma = ma_rot, por lo que igualamos (1’) y (2’) para obtener. Luego de re arreglar y juntar términos nos quedamos con , y, como m = dy/dx, despejando las diferenciales obtenemos, finalmente .

Esta es una ecuación diferencial de primer orden con factor de integración .
Su solución[1] es . Expresándola en coordenadas polares obtenemos , que equivale a , o lo que es lo mismo, . Puesto que es una constante, re escribimos la solución .

Determinación de k.

Tomemos el centro del cuadrado de lado b como polo y fijémonos que en , cuando , . Ahora calculamos r. Del triángulo en el dibujo se desprende que r, la hipotenusa, es igual a .

La expresión final para la solución buscada, es decir la forma de la curva es:

René F. Gastelumendi Dargent

20 de Octubre de 2004

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[1] Ecuaciones Diferenciales, Murray Spiegel, p 48, problema (d). Edición española de 1965.